Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy 2x y в области D :

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy 2x y в области D : y 0, x 0, x 3, y 4

Построим замкнутую область, ограниченной линиями y 0, x 0, x 3, y 4 на плоскости Оху:
1. Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные и приравняем их к нулю:
zx'=xy 2x yx'=y-2
zy'=xy 2x yy'=x-1
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим критические (стационарные) точки решая систему,
zx'=0zy'=0=>y-2=0x-1=0=>x=1y=2
Точка 1,2, z1,2=1∙2 2∙1 2=-2 .
2 . Исследуем значения функции на границах области D
Ix=3, yϵ0;4
z=3y 6 y=2y-6, z'=2
Глобальных экстремумов нет
IIy=4, xϵ0;3
Тогда z=4x 2x 4=2x-4, z'=2
Глобальных экстремумов нет
IIIx=0, yϵ0;4
Тогда z= y,z'=-1
Глобальных экстремумов нет
IVy=0, xϵ0;3
Тогда z= 2x , z'=-2
Глобальных экстремумов нет
Найдем значения функции в угловых точках:0;0,3;0,3;4,0;4
z0;0=0, z3;0=-6, z3;4=3∙4 2∙3 4=2, z0;4=-4
3

. Исследуем значения функции на границах области D
Ix=3, yϵ0;4
z=3y 6 y=2y-6, z'=2
Глобальных экстремумов нет
IIy=4, xϵ0;3
Тогда z=4x 2x 4=2x-4, z'=2
Глобальных экстремумов нет
IIIx=0, yϵ0;4
Тогда z= y,z'=-1
Глобальных экстремумов нет
IVy=0, xϵ0;3
Тогда z= 2x , z'=-2
Глобальных экстремумов нет
Найдем значения функции в угловых точках:0;0,3;0,3;4,0;4
z0;0=0, z3;0=-6, z3;4=3∙4 2∙3 4=2, z0;4=-4
3