Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=3x2+3y2-x-y+1 в области: D: x=5, y=0, x-y-1=0

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=3x2+3y2-x-y+1 в области: D: x=5, y=0, x-y-1=0

Построим указанную область на чертеже:
Найдем стационарные точки из условия:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=3x2+3y2-x-y+1x'=6x-1
∂z∂y=3x2+3y2-x-y+1y'=6y-1
6x-1=06y-1=0 x=16y=16 M16;16
Указанная точка не принадлежит области
Найдем угловые точки:
x=5y=0 M15;0 x=5x-y-1=0 M25;4 y=0x-y-1=0 M3(1;0)
Исследуем границу области:
y=0, x∈1;5
z=3x2-x+1
zx'=6x-1 6x-1=0 x=16
Точка не принадлежит границе
x=5 y∈0;4
z=75+3y2-5-y+1=3y2-y+71
zy'=6y-1 6y-1=0 y=16
M45;16
x-y-1=0 => y=x-1 x∈[1;5]
z=3x2+3x-12-x-x-1+1=6x2-8x+5
zx'=12x-8 12x-8=0 x=23
Точка не принадлежит границе
Найдем значение функции в получившихся точках:
zM1=z5;0=75-5+1=71
zM2=z5;4=75+48-5-4+1=115
zM3=z1;0=3-1+1=3
zM4=z5;16=75+112-5-16+1=83912
zmax=z5;4=115 zmin=z1;0=3