Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+2xy+3y-4x-1 в прямоугольнике: 0≤x≤1; 0≤y≤2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+2xy+3y-4x-1 в прямоугольнике: 0≤x≤1; 0≤y≤2

Построим указанную область на чертеже:
Найдем стационарные точки из условия:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=x2+2xy+3y-4x-1x'=2x+2y-4
∂z∂y=x2+2xy+3y-4x-1y'=2x+3
2x+2y-4=02x+3=0 y=72x=-32 M-32;72
Точка M не принадлежит области D
Исследуем границу области:
x=0 y∈[0;2]
z=3y-1 ∂z∂y=3≠0
Критических точек нет.
x=1 y∈[0;2]
z=1+2y+3y-4-1=5y-4 ∂z∂y=5≠0
Критических точек нет
y=0 x∈[0;1]
z=x2-4x-1 ∂z∂x=2x-4 2x-4=0 x=2 M12;0
Точка не принадлежит области.
y=2 x∈[0;1]
z=x2+4x+6-4x-1=x2+5 ∂z∂x=2x 2x=0 x=0 M2(0;2)
Находим значение функции в получившихся точках:
zM2=z0;2=6-1=5
Найдем значение функции в угловых точках:
zM3=z0;0=-1 zM4=z1;0=-4 zM5=z1;2=6
Таким образом,
zmax=zM5=6
zmin=zM4=-4