Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2-2xy+2,5y2-2x в области D:x=0, x=2, y=0, y=2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2-2xy+2,5y2-2x в области D:x=0, x=2, y=0, y=2.

Построим фигуру, ограниченную указанными графиками (рис. 4).
Рис. 4.
Найдем критические точки:
∂z∂x=2x-2y-2, ∂z∂y=-2x+5y
2x-2y-2=0, -2x+5y=0.⟹5y-2y-2=0, x=5y2.⟹y=23, x=53.
z53,22=259-209+109-103=159-309=-159=-53=-123
Исследуем на границе области:
AB:y=0: z=x2-2x .
z'=2x-2,⟹2x-2=0⟹2x-1=0⟹x=1,
z1,0=1-2=-1
BC:x=2: z=4-4y+2,5y2-8=2,5y2-4y-4

.
z'=2x-2,⟹2x-2=0⟹2x-1=0⟹x=1,
z1,0=1-2=-1
BC:x=2: z=4-4y+2,5y2-8=2,5y2-4y-4