Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой

Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и электрической проницаемостью . Расстояние между обкладками d. Найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано напряжение U=U0 cost, где U0 - положительная константа, Дано: d U= U0 cos t

H -?
Так как электрическое поле меняется со временем, то в конденсаторе будет присутствовать не только ток проводимости jпр, но и ток смещения jсм:
j=jпр+jсм=jпр+∂D∂t.
Для определения магнитного поля в конденсаторе заметим, что задача, при круглых пластинах конденсатора, обладает осевой симметрией, поэтому силовые линии напряженности магнитного поля будут окружностями, концентрическими оси . Выберем контур С радиуса r, совпадающимq с одной из линий напряженности магнитного поля и запишем для него уравнение Максвелла в виде:
CHdl=Sjпр+∂D∂tdS
Здесь слева интегрирование проводится по контуру длиной 2r, а справа – по поверхности r2, ограниченной этим контуром.
Плотность тока проводимости найдем по закону Ома в локальной форме:
jпр=E.
Учтем, что для изотропного диэлектрика:
D=0E
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - электрическая постоянная
CHdl=SE+0∂E∂tdS.
Вдоль выбранного контура направление H и dl совпадают, кроме того, внутри конденсатора, в пренебрежении краевыми эффектами, электрическое поле однородно, направлено перпендикулярно поверхности сечения, поэтому:
HCdl=E+0∂E∂tSdS;
H2r=E+0∂E∂tr2;
H=r2E+0∂E∂t.
Воспользуемся формулой связи напряженности и напряжения для однородного электрического поля:
E=Ud=U0dcost.
Тогда
H=rU02dcost-0sint.
Данную формулу можно преобразовать, если обозначить:
=Acos;
0=Asin.
Из этих формул найдем произвольные константы:
A=2+02
tg=0.
Тогда
H=rU0A2dcoscost-sinsint=Hmcos(t+).
Здесь
Hm=rU0A2d=rU02d2+02.
Ответ

. Выберем контур С радиуса r, совпадающимq с одной из линий напряженности магнитного поля и запишем для него уравнение Максвелла в виде:
CHdl=Sjпр+∂D∂tdS
Здесь слева интегрирование проводится по контуру длиной 2r, а справа – по поверхности r2, ограниченной этим контуром.
Плотность тока проводимости найдем по закону Ома в локальной форме:
jпр=E.
Учтем, что для изотропного диэлектрика:
D=0E
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - электрическая постоянная
CHdl=SE+0∂E∂tdS.
Вдоль выбранного контура направление H и dl совпадают, кроме того, внутри конденсатора, в пренебрежении краевыми эффектами, электрическое поле однородно, направлено перпендикулярно поверхности сечения, поэтому:
HCdl=E+0∂E∂tSdS;
H2r=E+0∂E∂tr2;
H=r2E+0∂E∂t.
Воспользуемся формулой связи напряженности и напряжения для однородного электрического поля:
E=Ud=U0dcost.
Тогда
H=rU02dcost-0sint.
Данную формулу можно преобразовать, если обозначить:
=Acos;
0=Asin.
Из этих формул найдем произвольные константы:
A=2+02
tg=0.
Тогда
H=rU0A2dcoscost-sinsint=Hmcos(t+).
Здесь
Hm=rU0A2d=rU02d2+02.
Ответ