Проверив аксиомы, установить, является ли заданная алгебра с одной бинарной операцией полугруппой? Моноидом? Группой? Множество

Проверив аксиомы, установить, является ли заданная алгебра с одной бинарной операцией полугруппой? Моноидом? Группой? Множество многочленов степени не выше n, коэффициенты которых –рациональные числа, с операцией сложения многочленов, определенной по следующим правилам: i=0naixi⊕i=0nbixi=i=0nai+bixi. Операция сложения рациональных чисел выполняется в аддитивной группе рациональных чисел.

Множество с бинарной операцией A,+ является аддитивной полугруппой, если для любых элементов a,b,c∈A выполняется свойство ассоциативности
a+b+c=a+b+c.
Полугруппа A,+ является моноидом, если в ней существует нейтральный элемент 0 такой, что для любого элемента a∈A выполняется свойство
a+0=0+a=a.
Моноид A,+ является группой, если в нем для любого элемента a∈A существует противоположный элемент -a такой, что выполняется свойство
a+-a=-a+a=0.
Множество (Q ,+) рациональных чисел является аддитивной группой.
Рассмотрим указанное множество многочленов A,⊕ . Ассоциативность следует из ассоциативности операции + и того, что она применяется покоэффициентно. Для любых трех многочленов имеем
i=0naixi⊕i=0nbixi⊕i=0ncixi=i=0nai+bixi⊕i=0ncixi=
=i=0nai+bi+cixi=i=0nai+bi+cixi=
i=0naixi⊕i=0nbi+cixi=i=0naixi⊕i=0nbixi⊕i=0ncixi,
где равенство во второй строке следует из ассоциативности +

. Ассоциативность следует из ассоциативности операции + и того, что она применяется покоэффициентно. Для любых трех многочленов имеем
i=0naixi⊕i=0nbixi⊕i=0ncixi=i=0nai+bixi⊕i=0ncixi=
=i=0nai+bi+cixi=i=0nai+bi+cixi=
i=0naixi⊕i=0nbi+cixi=i=0naixi⊕i=0nbixi⊕i=0ncixi,
где равенство во второй строке следует из ассоциативности +