Шар радиуса a нагревается плоскопараллельным потоком тепла плотности q, падающим на его поверхность, и

Шар радиуса a нагревается плоскопараллельным потоком тепла плотности q, падающим на его поверхность, и отдает тепло в окружающую среду в соответствии с законом Ньютона. Найти стационарное распределение температуры в шаре.

Выберем систему координат 0xyz так, чтобы начало находилось в центре шара, а ось 0z, была ориентирована против направления внешнего теплового потока q=-qez. Тогда постановка задачи будет осесимметричная и не будет зависеть от полярного угла φ. Для температуры шара Tr,θ в сферических координатах имеем следующую краевую задачу
ΔT≡1r2∂∂rr2∂T∂r+1r2sinθ∂∂θsinθ∂T∂θ=0, r<a.
(1)
На поверхности шара происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой и через половину поверхности шара поступает однородный тепловой поток
-k∂T∂r=αT-T0+qn,
где T0=0 − температура внешней среды; k − коэффициент теплопроводности; α −коэффициент теплообмена с внешней средой; qn=-qfθ − нормальная составляющая внешнего потока
fθ=qkcosθ, 0≤θ≤π20, π2≤θ≤π
Таким образом на поверхности шара имеем следующее граничное условие
∂T∂r+hTr=a=fθ=qkcosθ, 0≤θ≤π20, π2≤θ≤π.
(2)
где h=α/k.
По физическому смыслу задачи ищем ограниченное решение
T(r,θ)<∞, r<a.
(3)
Применим метод Фурье разделения переменных. Ищем нетривиальное решение уравнения (1) в виде произведения
Tr,θ=RrWθ.
Подставляем Tr,θ в таком виде в (4)
1r2∂∂rr2∂RrWθ∂r+1r2sinθ∂∂θsinθ∂RrWθ∂θ=0.
Учитывая, что Rr, Wθ – функции только одного аргумента, получим
Wθr2ddrr2dRrdr+Rrr2sinθddθsinθdWθdθ=0.
Умножим уравнение на r2RrWθ, получим
1Rrddrr2dRdr+1sinθWθddθsinθdWθdθ=0,
1Rrddrr2dRdr=-1sinθWθddθsinθdWθdθ=λ=const,
поскольку левая часть равенства – это функция только от r, а правая часть –только от θ.
В результате переменные разделяются, и получаем два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
1sinθddθsinθdWθdθ+λWθ=0,
ddθsinθdWθdθ+λsinθWθ=0
(4)
ddrr2dRdr-λRr=0.
(5)
В уравнении (4) сделаем замену переменных
x=cosθ, ddθ=-sinθddx, Wθ≡yx
-sinθddx-sin2θdydx+λsinθyx=0,
ddx1-x2dydx+λyx=0
(6)
Это уравнение Лежандра на отрезке -1;1

. Из условия (3) ограниченности решения T(r,θ) следует ограниченность функции Wθ
W0<∞, Wπ<∞,
откуда в свою очередь следует, что
y±1<∞.
Уравнение Лежандра (6) имеет ограниченные решения на отрезке -1;1 только в том случае, когда
λn=nn+1, n=0,1,2,…
Тогда решением уравнения (6) будут полиномы Лежандра
ynx=Pnx=12nn!dndxnx2-1n,
P0x=1, P1x=x, P2x=123x2-1, …
Wnθ=Pncosθ.
Уравнение (5) для функции Rr примет вид
r2Rn''r+2rRn'r-nn+1Rnr=0.
Это уравнение Эйлера второго порядка, его решение ищем в виде Rnr~rα