Стержень состоит из двух частей одинаковой поперечной площади S, но из различных материалов (см.

Стержень состоит из двух частей одинаковой поперечной площади S, но из различных материалов (см. рис. ниже) Рис. 1 Стержень теплоизолирован по торцам и боковой поверхности, не имеет внутренних источников тепла. Начальное распределение температур: в левой части T1, в правой части T2. 1. Составить математическую модель определения температуры в каждой точке стержня в каждый момент времени. 2. Можно ли решить задачу методом Фурье? (Ответ обосновать).

1) Составим математическую модель распространения тепла в стержне стержня.
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало совместим с левым концом стержня, рис.2. Поперечный размер сечения стержня достаточно мал по сравнению с его длиной, поэтому изотермические поверхности можно считать плоскостями перпендикулярными стержню, тогда температура будет функцией только одной пространственной координаты x∈[0,L1+L2], т.е. u=u(x,t).
Рис. 2
1) Если (0<x<L1) и (L1<x<L1+L2)
Составим уравнение баланса энергии для элемента стержня отсекаемого плоскостями x и x+∆x. По закону Фурье поток тепловой энергии пропорционален градиенту температуры
q=-k grad u,
где k − коэффициент теплопроводности. Знак минус означает, что тепло распространяется противоположно градиенту температуры, т.е. из областей с большей температурой в область с меньшей температурой.
В одномерном случае через площадку S в сечении x за интервал времени ∆t в объем поступит количество тепла
Q1=-k∂ux,t∂xS∆t.
Аналогично, через площадку в сечении x+∆x поступает тепло
Q2=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t
Формулы для Q1 и Q2 отличаются знаками, потому что нормаль в сечении x+∆x совпадает с направлением оси x, а в сечении x противоположна.
Через боковую поверхность стержня тепло не поступает.
В результате этих потоков изменение энергии объема ∆V=S∆x за время ∆t равно
Q=cρ∂u∂tS∆x∆t,
где c − теплоемкость; ρ − плотность материала стержня.
Баланс энергии
Q=Q1+Q2,
приводит к уравнению
cρ∂u(x*,t)∂tS∆x∆t=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t-k∂ux,t∂xS∆t
(1)
где x*∈(x,x+∆x).
Делим обе части равенства на cρS∆x∆t и осуществим предельный переход ∆x→0, получим
∂u∂t=kcρlim∆x→01∆x∂ux+∆x ,t∂x-∂ux,t∂x⁡
Следовательно, дифференциальное уравнение распространения тепла в стержне
∂u∂t=kcρ∂2ux,t∂x2,
(2)
Материал каждой из двух частей составного стержня однороден

. Введем обозначение a2=k/cρ (коэффициент температуропроводности). Уравнение теплопроводности для левого стержня примет вид.
u1t=a12u1xx, a12=k1c1ρ1, 0<x<L1, t>0.
(3')
Аналогично, для правого стержня
u2t=a22u2xx, a22=k2c2ρ2, L1<x<L1+L2, t>0.
(3'')
2) Чтобы получить граничное условие надо рассмотреть баланс тепла для элементов примыкающих к границам.
Получим, например, граничное условие на левом торце стержня. рассмотрим элемент [0, ∆x], примыкающий к левой границе x=0. Поскольку поток через эту границу нулевой (край стержня теплоизолирован), Q1=0, уравнение баланса примет вид
c1ρ1S∆x∆t∂u1(x*,t)∂t=k1∆tS∂u1∆x,t∂x,
где x*∈(0,∆x).
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим
k1∆tS∂u1∆x,t∂x=0.
Следовательно, граничное условие будет
∂u10,t∂x=0.
(4')
Аналогично получается граничное условие для правого теплоизолированного торца
∂u2L1+L2,t∂x=0.
(4'')
3) В точке (x=L1) необходимо условие согласования для температуры правой и левой частей стержня