Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 18 кН (B вниз), Р2

Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 18 кН (B вниз), Р2 = 0,4⋅18 = 7,2 кН (С вверх) и равномерно распределенная нагрузка q = 24 кН/м (B-С вниз), как показано на рисунке П1.1. Длины участков l1 = 0,6 м, l2 = 1,5⋅l1 = 0,9 м, l3 = 1,9⋅l1 = 1,14 м, модуль упругости для материала стержня составляет Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,7, предел текучести Ст25 σТ = 275 МПа. Соотношения площадей – F1 = 1,2F0, F2 = 2,9F0, F3 = 2,0F0. Требуется: 1. Построить эпюры нормальных сил, напряжений, продольных деформаций и абсолютных удлинений. 2. Из расчета на прочность подобрать допускаемое значение площади сечения.

Определяем реакцию в жесткой заделке
Pxi=0
-RA+P1+0l2qdx-P2=0
откуда, при q = const, имеем:
RA=P1+ql1-P2=18+24⋅0,9-7,2=32,4 кН;
Рисунок П1. SEQ Рисунок \* ARABIC 1 Расчетная схема и эпюры нормальных сил, деформаций и удлинений
Разбиваем стержень на участки, определяем продольные силы (рисунок П1.2).
На первом участке (рисунок П.1.2 а)
Nx1=RA;
Nx1=RA=32,4 кН;
На втором участке (рисунок П1.2 б)
Nx2=RA-qx2-P1;
Nx2=RA-P1=32,4-18=14,4 кН x1=0;
Nx2=RA-ql2-P1=32,4-24⋅0,9-18=-7,2 кН x1=0,5 м;На третьем участке (рисунок П1.2 в)
Nx3=RA-ql2-P1+P2=32,4-24⋅0,9-18+7,2=0;Эпюра продольных сил изображена на рисунке П1.1.
Определяем нормальные напряжения.
σx1=Nx1F1=32,41,2F0=27F0
σx2=Nx2F2=14,4-24x22,9F0=4,97-8,26x2F0
При x2=0; σx2=4,97F0
При x2=0,9 м; σx2=4,97-8,26x22,9F0=-2,46F0
σx3=Nx3F3=-02F0=0
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке П1.1.
Определяем относительные деформации.
εx1=σx1EF1=32,41,2EF0=27EF0
εx2=σx2EF2=14,4-24x22,9F0=4,97-8,26x2EF0
При x2=0; εx2=4,97EF0
При x2=0,9 м; εx2=4,97-8,26⋅0,92,9EF0=-2,46EF0
εx3=σx3EF3=-02EF0=0
Эпюра деформаций изображена на рисунке П1.1.
Находим абсолютные деформации.
Принимаем в жесткой заделке Δ𝑙𝐴 = 0, далее
ΔlBA=0l1Nx11,2EF0dx1=0l132,41,2EF0dx1=32,4l11,2EF0=16,2кН⋅м EF0
ΔlСB=0l2Nx22,9EF0dx2=0l214,4-24x22,9EF0dx2=14,4l2-12l222,9EF0=1,12кН⋅м EF0
ΔlCA=ΔlBA+ΔlCB=16,2+1,12=17,32 кН⋅м EF0
ΔlDC=0l3Nx32EF0dx3=0l302EF0dx1=0
Δl=ΔlCA+ΔlDC=17,32кН⋅м EF0
Эпюра абсолютных деформаций (удлинений) также имеется на рисунке П1.1,
Составляем условие прочности:
σmax=σx1=27F0 кН≤σ,
где σ=2751,7=161,8 МПа,
Таким образом, допускаемая площадь поперечного сечения:
F0=27⋅103161,8⋅106=1,67⋅10-4 м2
При такой площади удлинение стержня составит
Δl=17,32⋅1032⋅1011⋅1,67⋅10-4=5,19⋅10-4 м=-0,519 мм