Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 10 кН (С вниз), Р2

Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 10 кН (С вниз), Р2 = 0,8⋅10 = 8 кН (B вниз) и равномерно распределенная нагрузка q = 18 кН/м (A-B вверх), как показано на рисунке П1.1. Длины участков l1 = 1,0 м, l2 = 1,9⋅l1 = 1,9 м, l3 = 1,5⋅l1 = 1,5 м, модуль упругости для материала стержня составляет Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,9, предел текучести Ст35 σТ = 315 МПа. Соотношения площадей – F1 = 2,0F0, F2 = 2,5F0, F3 = 1,6F0. Требуется: 1. Построить эпюры нормальных сил, напряжений, продольных деформаций и абсолютных удлинений. 2. Из расчета на прочность подобрать допускаемое значение площади сечения.

Определяем реакцию в жесткой заделке
Pxi=0
-RA-0l1qdx+P1+P2=0
откуда, при q = const, имеем:
RA=-ql1+P1+P2=-18⋅1+10+8=0
Рисунок П1. SEQ Рисунок \* ARABIC 1 Расчетная схема и эпюры нормальных сил, деформаций и удлинений
Разбиваем стержень на участки, определяем продольные силы (рисунок П1.2).
На первом участке (рисунок П.1.2 а)
Nx1=RA+qx1;
Nx1=RA=0 x1=0;
Nx1=RA+ql1=18⋅1=18 кН x1=1,0 м;На втором участке (рисунок П1.2 б)
Nx2=RA+ql1-P2=0+18⋅1-8=10 кН;На третьем участке (рисунок П1.2 в)
Nx3=RA+ql1-P1-P2=0+18⋅1-8-10=0;Эпюра продольных сил изображена на рисунке П1.1.
Определяем нормальные напряжения.
σx1=Nx1F1=-qx1F1
При x1=0; σx1=0
При x1=1,0 м; σx1=Nx1F1=9F0
σx2=Nx2F2=102,5F0=4F0
σx3=Nx3F3=01,6F0=0
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке П1.1.
Определяем относительные деформации.
εx1=σx1EF1=-qx1EF1
При x1=0; σx1=0
При x1=1,0 м; εx1=Nx1F1=9F0
εx2=σx2F2=102,5F0=4F0
εx3=σx3F3=01,6F0=0
Эпюра деформаций изображена на рисунке П1.1.
Находим абсолютные деформации.
Принимаем в жесткой заделке Δ𝑙𝐴 = 0, далее
ΔlBA=0l1Nx12EF0dx1=0l1qx1EF0dx1=18l122EF0=9кН⋅м EF0
ΔlСB=0l2Nx22,5EF0dx2=0l24EF0dx1=4l2EF0=7,6кН⋅м EF0
ΔlCA=ΔlBA+ΔlCB=9+7,6=16,6 кН⋅м EF0
ΔlDC=0l3Nx31,6EF0dx3=0l301,6EF0dx1=0
Δl=ΔlCA=16,6кН⋅м EF0
Эпюра абсолютных деформаций (удлинений) также имеется на рисунке П1.1,
Составляем условие прочности:
σmax=σx1=9F0 кН≤σ,
где σ=3151,9=165,8 МПа,
Таким образом, допускаемая площадь поперечного сечения:
F0=9⋅103165,8⋅106=5,43⋅10-5 м2
При такой площади удлинение стержня составит
Δl=16,6⋅1032⋅1011⋅5,43⋅10-5=1,52⋅10-3 м=1,52 мм