Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 10 кН (С вниз), Р2. 2

Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 10 кН (С вниз), Р2 = 1,2⋅10 = 12 кН (B вниз) и равномерно распределенная нагрузка q = 12 кН/м (C-D вверх), как показано на рисунке П1.1. Длины участков l1 = 1,0 м, l2 = 1,2⋅l1 = 1,2 м, l3 = 1,5⋅l1 = 1,5 м, модуль упругости для материала стержня составляет Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2,1, предел текучести Ст45 σТ = 355 МПа. Соотношения площадей – F1 = 2,0F0, F2 = 2,5F0, F3 = 1,2F0. Требуется: 1. Построить эпюры нормальных сил, напряжений, продольных деформаций и абсолютных удлинений. 2. Из расчета на прочность подобрать допускаемое значение площади сечения.

Определяем реакцию в жесткой заделке
Pxi=0
-RA+P1+P2-0l3qdx=0
откуда, при q = const, имеем:
RA=-ql3+P1+P2=-12⋅1,5+10+12=4 кН
Рисунок П1. SEQ Рисунок \* ARABIC 1 Расчетная схема и эпюры нормальных сил, деформаций и удлинений
Разбиваем стержень на участки, определяем продольные силы (рисунок П1.2).
На первом участке (рисунок П.1.2 а)
Nx1=RA=4 кН;На втором участке (рисунок П1.2 б)
Nx2=RA-P2=4-12=-8 кН;На третьем участке (рисунок П1.2 в) Nx3=RA-P1-P2+qx3.
Nx3=RA-P1-P2=4-10-12=-18 кН x3=0;
Nx3=RA-P1-P2+ql3=4-10-12+12⋅1,5=0 x3=1,5 м;
Эпюра продольных сил изображена на рисунке П1.1.
Определяем нормальные напряжения.
σx1=Nx1F1=42F0=2F0
σx2=Nx2F2=-82,5F0=-3,2F0
σx3=Nx3F3=-18+12x31,2F0=-15+10x3F0
При x3=0; σx3=-15 кНF0
При x3=1,5 м; σx3=0
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке П1.1.
Определяем относительные деформации.
εx1=σx1E=2EF0
εx2=σx2E=-3,2EF0
εx3=σx3E=-15+10x3F0
При x3=0; εx1=-15 кНEF0
При x3=1,0 м; εx1=0
Эпюра деформаций изображена на рисунке П1.1.
Находим абсолютные деформации.
Принимаем в жесткой заделке Δ𝑙𝐴 = 0, далее
ΔlBA=0l1Nx12EF0dx1=0l12EF0dx1=2l1EF0=2кН⋅м EF0
ΔlСB=0l2Nx22,5EF0dx2=0l2-8EF0dx1=-8l2EF0=-9,6кН⋅м EF0
ΔlCA=ΔlBA+ΔlCB=2-9,6=-7,6 кН⋅м EF0
ΔlDC=0l3Nx32EF0dx3=0l3-15+10l3EF0dx1=-15l3+5l32EF0=-11,25кН⋅м EF0
Δl=ΔlDA=ΔlBA+ΔlCB+ΔlDC=2-9,6-11,25=-18,85кН⋅м EF0
Эпюра абсолютных деформаций (удлинений) также имеется на рисунке П1.1,
Составляем условие прочности:
σmax=σx1=15F0 кН≤σ,
где σ=3552,1=169,05 МПа,
Таким образом, допускаемая площадь поперечного сечения:
F0=15⋅103169,05⋅106=8,87⋅10-5 м2
При такой площади удлинение стержня составит
Δl=-18,85⋅1032⋅1011⋅8,87⋅10-5=-1,06⋅10-4 м=-0,106 мм