Стержень длиной L и площадью поперечного сечения S неравномерно нагрет (на рис. ниже показано

Стержень длиной L и площадью поперечного сечения S неравномерно нагрет (на рис. ниже показано распределение температуры стержня) Рис. 1 Задано: ρ − плотность материала стержня (не зависит от температуры). E(T) − модуль Юнга материала стержня как функция температуры.. Площадь поперечного сечения S и длина L также не зависят от температуры (изменения настолько малы, что ими можно пренебречь). Стержень был сжат силами P, как показано на рисунке. В момент времени t=0 обе силы снимаются. 1. Составить математическую модель продольных колебаний стержня. 2. Можно ли решить задачу методом Фурье? (Ответ обосновать).

1) Составим математическую модель продольных колебаний стержня.
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало оси совпадает с левым концом стержня, рис. 2. Пусть x − координата сечения pq стержня, когда он находится в покое. Будем рассматривать малые продольные колебания стержня. В этом случае внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня.
Рис.2
Смещение сечения pq в момент t обозначим через u(x,t). Смещение сечения в точке x+∆x будет
ux+∆x,t≅ux,t+uxx,t∆x.
Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет ux(x,t). По закону упругости Гука сила натяжения в этом сечении будет
F(x)=E(x)Suxx,t,
где S − площадь поперечного сечения стержня, E(x)=E(T(x)) − модуль упругости материала стержня.
Аналогично, сила натяжения в сечении p'q' (x+∆x) будет
Fx+∆x=Ex+∆xSuxx+∆x,t.
Равнодействующая сил натяжения будет
Fx+∆x-F(x)=SEx+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t
Считаем, что других объемных сил на элемент стержня pqp'q' не действует.
Произведение массы элемента стержня pqp'q' на ускорение равно ρS∆xutt.
Уравнение движения этого элемента (уравнение Ньютона) имеет вид
ρSutt∆x= SEx+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t
(1)
Разделив обе части уравнения на ρS∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим
utt=1ρlim∆x→0Ex+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t∆x=1ρ∂∂xE∂u∂x.
Следовательно, дифференциальное уравнение продольных колебаний стрежня
∂2u∂t2=1ρ∂∂xE∂u∂x, 0<x<L, t>0.
(2)
Учитывая, что Ex=E(Tx), это уравнение можно записать в другом виде
∂2u∂t2=1ρE∂2u∂x2+dEdT∙dTdx∙∂u∂x, 0<x<L, t>0.
(2')
Чтобы получить граничные условия надо аналогично записать уравнения Ньютона для элементов, примыкающих к краям стержня.
Получим граничное условие для левого края стержня x=0 при t>0, когда этот край свободен

. Напишем уравнение движения Ньютона для элемента (0,∆x). На этот элемент в сечении ∆x будет действовать сила натяжения, равная
F∆x, t=E(∆x)Sux∆x,t.
В сечении x=0 никакие силы не действую (край свободен)
Уравнение Ньютона для элемента (0,∆x) стержня примет вид
ρS∆xuttx,t=E(∆x)Sux∆x,t.
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим условие
0=E(0)Sux0,t.
Разделив на E(0)S, получим граничное условие
ux0,t=0, t>0.
(3)
Аналогично получается граничное условие для правого свободного края
uxL,t=0, t>0.
(4)
В начальный момент времени t=0 стержень имел некоторую начальную деформацию Ux, вызванную продольной силами P и -P, а начальные скорости точек стержня равнялись нулю