Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 12 кН (C вниз), Р2

Стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 12 кН (C вниз), Р2 = 1,0⋅12 = 12 кН (C вниз) и равномерно распределенная нагрузка q = 10 кН/м (B-C вверх), как показано на рисунке П1.1. Длины участков l1 = 0,9 м, l2 = 1,0⋅l1 = 0,9 м, l3 = 1,1⋅l1 = 0,99 м, модуль упругости для материала стержня составляет Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2,0, предел текучести Ст 40 σТ = 335 МПа. Соотношения площадей – F1 = 2,8F0, F2 = 2,1F0, F3 = 1,4F0. Требуется: 1. Построить эпюры нормальных сил, напряжений, продольных деформаций и абсолютных удлинений. 2. Из расчета на прочность подобрать допускаемое значение площади сечения.

Определяем реакцию в жесткой заделке
Pxi=0
-RA-0l2qdx+P1+P2=0
откуда, при q = const, имеем:
RA=ql2-P1-P2=10⋅0,9-12-12=-15 кН;
Рисунок П1. SEQ Рисунок \* ARABIC 1 Расчетная схема и эпюры нормальных сил, деформаций и удлинений
Разбиваем стержень на участки, определяем продольные силы (рисунок П1.2).
На первом участке (рисунок П.1.2 а)
Nx1=RA=-15 кН;
На втором участке (рисунок П1.2 б)
Nx2=RA-qx3=-15-10x3;
Nx2=-15 кН x3=0; Nx2=-15-10⋅0,9=-24 кН x3=0,9 м;На третьем участке (рисунок П1.2 в)
Nx3=RA-qx3+P1+P2=-15-10⋅0,9+12+12=0;
Эпюра продольных сил изображена на рисунке П1.1.
Определяем нормальные напряжения.
σx1=Nx1F1=-15 кН2,8F0=-5,35 кНF0
σx2=Nx2F2=-15-10x32,1F0=-7,14-4,76x3 кНF0
σx2=-7,14 кНF0 x2=0;σx2=-11,42 кНF0 x2=0,9 м
σx3=Nx3F3=01,4F0=0
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке П1.1.
Определяем относительные деформации.
εx1=σx1E=-5,35 кНEF0
εx2=σx2E=-7,14 кНEF0 x2=0;εx2=-11,42 кНEF0 x2=0,9 м
εx3=σx3E=0EF0=0
Эпюра деформаций изображена на рисунке П1.1.
Находим абсолютные деформации.
Принимаем в жесткой заделке Δ𝑙𝐴 = 0, далее
ΔlBA=0l1Nx12,8EF0dx1=0l1-5,35EF0dx1=-5,35l1EF0=-4,82кН⋅м EF0
ΔlСB=0l2Nx22,1EF0dx2=0l2-15-10x32,1EF0dx1=-7,14l2-2,38l22EF0=-8,35кН⋅м EF0
ΔlCA=ΔlBA+ΔlCB=-4,82-8,35=-13,17 кН⋅м EF0
ΔlDC=0l3Nx31,4EF0dx3=0l301,4EF0dx1=0
Δl=ΔlCA+ΔlDC=-13,17 кН⋅м EF0
Эпюра абсолютных деформаций (удлинений) также имеется на рисунке П1.1,
Составляем условие прочности:
σmax=σx2=-11,42F0 кН≤σ,
где σ=3352,0=167,5 МПа,
Таким образом, допускаемая площадь поперечного сечения:
F0=11,42⋅103167,5⋅106=6,82⋅10-5 м2
При такой площади удлинение стержня составит
Δl=-13,17⋅1032⋅1011⋅6,82⋅10-5=-9,65⋅10-4 м=-0,965 мм