Тело H массой m1=30 кг вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью

Тело H массой m1=30 кг вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью ω0=-1,5 радс. по желобу, в направлении от A к B перемещается материальная точка K массой m2=10 кг. Закон движения точки AK=s=3t3-2t (см). Определить угловую скорость тела H через t=3 с после начала движения точки K. Тело H считать однородной пластиной размерами a=1,5 м. b=1,5 м. Точка C является центром масс пластины. OC=0,5 м. Рисунок  2.1. Исходный Рисунок  2.1. Исходный m1, кг m2, кг ω0,радс AK=s, см OC, м a, м b, м t, с 30 10 -1,5 3t3-2t 0,5 1,5 1,5 3

Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы со своей канавкой AB и шара K. Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:
dLzdt=mzFke, (1)
где Lz- кинетический момент системы относительно оси z; mzFke- сумма моментов всех внешних сил относительно этой же оси.
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести P1, P2, реакции RK, RN. Так как силы P1 и P2параллельны оси z, а реакции RK и RN эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда mzFke=0, из (1) получим:
dLzdt=0. (2)
Отсюда получим:
Lz=const. (3)
Получили закон сохранения кинетического момента.
Для рассматриваемой механической системы
Lz=Lzпл+LzK, (4)
где Lzпл и LzK- кинетические моменты платформы и шара K соответственно.
Момент инерции платформы относительно оси z', проходящей через ее ЦМ C, перпендикулярной плоскости платформы равен
Jz'=m1a2+b23.
По теореме Гюйгенса – Штейнера, момент инерции платформы относительно оси Oz будет:
Jz=Jz'+m1∙OC2=m1a2+b23+m1∙OC2.
Таким образом, кинетический момент платформы
Lzпл=Jzω=m1a2+b23+m1∙OC2ω

. (5)
Для определения LzK обратимся к рис. 2.1, б, где изображен шар в расчетный момент времени t=3 с. Координата шара в этот момент в системе координат Aη, жестко связанной с платформой, (ось η направим по движению шара) равна
s3=AK=3∙33-2∙3=75 см=0,75 м.
В начальный момент времени шар находился в точке A, действительно,
s0=3t3-2t=0.
Рассмотрим движение шара K как сложное, считая его движение по желобу относительным, а вращение вместе с платформой вокруг оси z- переносным движением. Тогда абсолютная скорость шара
v=vотн+vпер.
Шар K движется по закону
s=AK=3t3-2t,
относительная скорость
vотн=s=9t2-2 смс.
В расчетный момент времени t=3 с
vотн=s=9t2-2 смс
vотн3=9∙32-2=79 смс=0,79мс.
Изображаем вектор vотн на рис