Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным:
Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным:
В данном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y - от 0 до полукруга 1-х2 радиуса R=1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена осью Ох, а сверху – полукругом у=1-х2 радиуса R=1. Область интегрирования изображена на следующем чертеже.
Запишем уравнение функции, которая ограничивает область у=1-х2⇒y2+x2=1 – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R=1.
Переходим к полярной системе координат: уравнение окружности в полярной системе координат будет иметь вид: x=ρcosφ, y=ρsinφ
. Подставляем в уравнение окружности, получим:
y2+x2=1⇒ρcosφ2+ρsinφ2=1⇒ρ2=1⇒ρ=1
Получили, что полярный радиус изменяется в границах ρ∈0;1, а угол φ∈0;π
. Подставляем в уравнение окружности, получим:
y2+x2=1⇒ρcosφ2+ρsinφ2=1⇒ρ2=1⇒ρ=1
Получили, что полярный радиус изменяется в границах ρ∈0;1, а угол φ∈0;π
- Вычислить интеграл по дуге L от точки z1 до точки z2: L (2i-z)dz, L: x=y2;
- Вычислить интеграл по заданной кривой в указанном направлении. Czdz, C- полуокружности z=1, Imz≥0. Начало
- Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов: C ezz2(z-i)dz, C: z=2
- Вычислить интеграл по теореме о свертке: 0tt-x2et-xdx
- Вычислить интеграл при помощи вычетов. Lz2+1exp-1zdz.L=z:z=2.
- Вычислить интеграл при помощи формулы Коши (или ее следствия) С z+a2ezsinπzz-adz, контур C:z-a=1
- Вычислить интеграл с использованием формул Ньютона-Котеса (формула прямоугольников (входящих, исходящих, средних), формула трапеций, формула
- Вычислить интеграл -125x3+7dx с помощью формулы Симпсона по 12 отрезкам (13 узлам). Оценить погрешность по
- Вычислить интеграл 25x2dx по формуле трапеций, разбив промежуток интегрирования на 10 частей.
- Вычислить интеграл I=1z+13z-12 dz по окружности z+1=1.
- Вычислить интеграл I=1z2-1dz по окружности z-1=1.
- Вычислить интеграл I=sinzz2+π22 dz по окружности z-πi=7.
- Вычислить интеграл I=zdz по отрезку прямой, соединяющей точки z1=0 и z2=3+2i.
- Вычислить интеграл Sr⋅a⋅nⅆs, где a – постоянный вектор, n – единичный вектор, нормальный к