Вычислить циркуляцию векторного поля T=-6zi+xj+yk по замкнутому контуру L, образованному пересечением поверхностей: 4z-62=x2+y2, x=0, y=0, z=0, x≥0,

Вычислить циркуляцию векторного поля T=-6zi+xj+yk по замкнутому контуру L, образованному пересечением поверхностей: 4z-62=x2+y2, x=0, y=0, z=0, x≥0, y≥0,z≥0 двумя способами: непосредственно по определению и по теореме Стокса.

1. Непосредственно по определению.
Циркуляция векторного поля T равна
Ц=L-6zdx+xdy+ydz,
Поверхность S - часть конуса 4z-62=x2+y2 при 0≤z≤6 в первом октанте пространства Oxyz (рис. 3).
Найдем пересечение конуса с координатными плоскостями:
Oxyz=0: x2+y2=122 – окружность радиусом 12 с центром в начале координат;
Oyzx=0: 4z-62=y2 ⟺2z-6=±y ⟺z=±y2+6 – две прямые, пересекающиеся в точке y;z=(0;6);
Oxzy=0: 4z-62=x2 ⟺2z-6=±x ⟺z=±x2+6 – две прямые, пересекающиеся в точке x;z=(0;6).
Следовательно, замкнутый контур L состоит из трех частей:
L1- часть окружности x2+y2=122, z=0, x≥0, y≥0; (рис. 4а)
L2- часть прямой z=-y2+6, x=0, 0≤y≤12, 0≤z≤6; (рис

. 4б)
L3- часть прямой z=-x2+6, y=0, 0≤x≤12, 0≤z≤6; (рис. 4в)
Тогда циркуляция векторного поля будет
Ц=Ц1+Ц2+Ц3=
=L1-6zdx+xdy+ydz+L2-6zdx+xdy+ydz+L3-6zdx+xdy+ydz.
L1: Ц1=L1-6zdx+xdy+ydz=
Перейдем в полярные координаты r,φ:
r=12, x=12cosφ, dx=-12sinφdφ, y=12sinφ, dy=12cosφdφ, z=0, dz=0, 0≤φ<π2,
=0π/2-6⋅0+12cosφ⋅12cosφ+12sinφ⋅0dφ=
=1440π/2cos2φdφ=1440π/2121+cos2φdφ=72φ+12sin2φ0π/2=
=72π2+12sinπ=36π.
L2: x=0, dx=0, z=-y2+6, dz=-12dy, 12≥y≥0
Ц2=L2-6zdx+xdy+ydz=120-6-y2+6⋅0+0+y⋅-12dy=
=-12120ydy=-12⋅ y22120=36;
L3: y=0, dy=0, z=-x2+6, dz=-12dx, 0≤x≤12,
Ц3=L3-6zdx+xdy+ydz=012-6-x2+6+x⋅0+0dx=
=-6012-x2+6dx=-6⋅ -12⋅x22+6x012=-216.
Тогда циркуляция вдоль замкнутого контура L будет
Ц=Ц1+Ц2+Ц3=36π+36-216=36π-180.
2