Задана непрерывная случайная величина Х с помощью плотности распределения вероятности f(x), сосредоточенная на отрезке

Задана непрерывная случайная величина Х с помощью плотности распределения вероятности f(x), сосредоточенная на отрезке a, b 1) Найти функцию распределения F(X) и ее график 2) Найти математическое ожидание M[X] 3) Найти дисперсию D[X]. 4) Найти вероятность попадания в интервал a+b2;3b-а2 fx=0, x≤4x-18, 4<x≤60, x>6

Найдем функцию распределения F(x) по определению
Fx=-∞xftdt
Получаем
Пусть x≤4, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть 4<x≤6, тогда fx=x-18, тогда Fx=-∞xftdt=-∞40dt+4xt-18dt=184xt-1dt=
=18∙t22-tx4=18∙x22-x-18∙422-4=x2-2x-816
Пусть x>6, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞40dt+46t-18dt+x∞0dt=1846t-1dt=
=18∙t22-t64=18∙622-6-18∙422-4=128-48=1212=1
Таким образом,
Fx=0, x≤4x2-2x-816, 4<x≤61, x>6
График функции распределения
2) Найдем математическое ожидание M[X]
MX=-∞+∞fxxdx =46x-18∙xdx=1846x-1∙xdx=
=1846x2-xdx=18x33-x2264=18∙633-622-18∙433-422=
=18∙72-18-18∙643-8=548-18∙64-243=274-53=81-2012=6112
3) Найдем дисперсию D[X].
DX=-∞+∞fxx2dx –MX2=46x-18∙x2dx-61122=
=1846x3-x2dx-3721144=18∙x44-x3364-3721144=
=18∙644-633-18∙444-433-3721144=638∙64-13-438∙44-13-3721144
=27∙32-13-8∙1-13-3721144=27∙9-26-8∙23-3721144
=1892-163-3721144=4536-768-3721144=47144
4) Найдем вероятность попадания в интервал a+b2;3b-а2
По условию задачи непрерывная случайная величина Х задана с помощью плотности распределения вероятности f(x), сосредоточенная на отрезке 4, 6.
Тогда найдем вероятность попадания в интервал 5;7
P5<x<7=F7-F5=1-52-2∙5-816=
=1-716=916