Задана плотность распределения случайной величины f(x). Найти: значение параметра a, функцию распределения F(x), математическое

Задана плотность распределения случайной величины f(x). Найти: значение параметра a, функцию распределения F(x), математическое ожидание. Построить графики функций f(x), F(x). fx=acos2x, x≤π20, x>π2

Параметр a найдем, исходя из того, что:
-∞∞fxdx=1
-∞∞fxdx=-π2π2acos2xdx=a2-π2π2(1+cos2x)dx=a2x+12sin2xπ2-π2=
=a2π2+12sinπ--π2+12sin-π=aπ2
aπ2=1 => a=2π
fx=2πcos2x, x≤π20, x>π2
Составим функцию распределения:
Fx=-∞xftdt
x≤-π2 => Fx=-∞x0dt=0
-π2<x≤π2
Fx=-∞-π20dt+-π2x2πcos2tdt=1π-π2x(1+cos2t)dt=1πt+12sin2tx-π2=
=1πx+12sin2x+π2-12sin-π=1πx+12sin2x+π2=12+12πsin2x+xπ
x>π2
Fx=-∞-π20dt+-π2π22πcos2tdt+π2x0dt=1
Fx=0, x≤-π2 12+12πsin2x+xπ, -π2<x≤π2 1, x>π2
Математическое ожидание найдем по формуле:
Mx=-∞∞x∙fxdx=2π-π2π2x∙cos2xdx=1π-π2π2(x+xcos2x)dx=
=1π-π2π2xdx+1π-π2π2xcos2xdx=
Для второго интеграла применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cos2xdx
du=dx v=12sin2x
=12πx2π2-π2+12πxsin2xπ2-π2+12π-π2π2sin2xdx=
=12πx2π2-π2+12πxsin2xπ2-π2-14πcos2xπ2-π2=
=π8-π8+14sinπ+14sin(-π)-14πcos(π)+14πcos(-π)=0
Построим графики функции распределения и функции плотности распределения: