Задана плотность распределения fx непрерывной случайной величины X. Требуется: а) определить недостающие параметры этого

Задана плотность распределения fx непрерывной случайной величины X. Требуется: а) определить недостающие параметры этого распределения; б) найти функцию распределения Fx и схематично построить ее график; в) найти MX и P-12<X<12.

Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс, для этого приравняем функции к нулю
kx+13=0 ⟹ x+13=0 k≠0⟹ x+1=0 ⟹x=-1
kx-12=0 ⟹ x-12=0 k≠0⟹ x-1=0 ⟹x=1
Коэффициент k найдем исходя из основного свойства плотности вероятности:
-∞+∞fxdx=-∞-10dx+-10kx+13dx+01kx-12dx+1+∞0dx=kx+144-10+kx-13301=k14+k13=712k=1
откуда
k=127
Запишем плотность распределения аналитически:
fx=0, если x≤-1127x+13, если-1≤x≤0127x-12, если 0≤x≤10, если x≥1
Найдем функцию распределения:
Fx=-∞xfxdx
Если x≤-1, то
Fx=-∞xfxdx=-∞x0dx=0
Если -1≤x≤0, то
Fx=-∞xfxdx=-∞-10dx+-1x127x+13dx=127∙x+144-1x=37x+14
Если 0≤x≤1, то
Fx=-∞xfxdx=-∞-10dx+-10127x+13dx+0x127x-12dx=127∙x+144-10+127∙x-1330x=37+47x-13+47=47x-13+1
Если x≥0, то
Fx=-∞xfxdx=-∞-10dx+-10127x+13dx+01127x-12dx+1x0dx=127∙x+144-10+127∙x-13301=37+47=1
Функция распределения имеет вид:
Fx=0, если x≤-137x+14, если-1≤x≤047x-13+1, если 0≤x≤11, если x≥1
Согласно определению, математическое ожидание:
MX=-∞+∞x∙fxdx=-10x∙127x+13dx+01x∙127x-12dx=127-10x4+3x3+3x2+xdx+12701x3-2x2+xdx==127x55-10+3x44-10+x3-10+x22-10+127x4401-2x3301+x2201=12715-34+1-12+12714-23+12=1274-15+20-1020+1273-8+612=-335+17=235≈0,0571
Найдем вероятность:
P-12<X<12=F12-F-12=4712-13+1-37-12+14=47-123+1-37124=-114+1-3112=-8+112-3112=101112≈0,9018