Задана плотность случайной величины ξ. Задана также случайная величина η как линейная функция ξ. fx=-4x,

Задана плотность случайной величины ξ. Задана также случайная величина η как линейная функция ξ. fx=-4x, x∈-a2,0x4, x∈0, 2a0 x∉-a2,2a η=6ξ+4. Требуется: 1. Найти параметр a. 2. Найти функцию распределения случайной величины ξ. 3. Построить графики плотности и функции распределения. 4. Найти матожидание и дисперсию случайной величины ξ. 5. Найти также матожидание и дисперсию для η. Дополнительно: 4.1. Найти вероятность уклонения ξ от своего матожидания более, чем на 2 σ. 5.1. Найти плотность случайной величины η.

Параметр найдем из условия нормировки
-∞+∞fxdx=1
-a20-4xdx+02ax4dx=-2x2-a20+x2802a =a22+a22=a2=1⟹a=1.
fx=-4x, x∈-1/2,0x4, x∈0, 20 x∉-12,2
2. Найдем функцию распределения, по определению:
F(x)=-∞xf(t)dt
1) x≤-12: Fx=-∞x0dt=0;
2)-12<x≤0: Fx=-∞-120dt+-12x-4t dt=-2t2-12x=12-2x2;
2) 0<x≤2: Fx=-∞-120dt+-120-4t dt+0xt4dt=-2t2-a20+t280x=12+x28;
3) x>2: Fx=-∞-120dt+-120-4t dt+02t4dx+2x0 dt=-2t2-120+x2802=12+12=1
Функция распределения случайной величины Х:
Fx=0, если x<-1/212-2x2, если -12<x≤012+x28, если 0<x≤21, если x>2
3 . Построим графики плотности и функции распределения.
Рис. 1. Плотность распределения
Рис. 2. Функция распределения
4. Найти матожидание и дисперсию случайной величины ξ.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Mξ=-∞∞xfxdx=-120-4x2dx+02x24dx=-4∙x33-120+x31202 =-16+812=12.
Дисперсия непрерывной случайной величины
Dξ=-∞∞x-Mξ2f(x)dx=-∞∞x2f(x)dx-M2ξ
Dξ=-120-4x3dx+02x34dx=-x4-120+x41602- 122=116+1-14=1316=0,8125.
5

. Построим графики плотности и функции распределения.
Рис. 1. Плотность распределения
Рис. 2. Функция распределения
4. Найти матожидание и дисперсию случайной величины ξ.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Mξ=-∞∞xfxdx=-120-4x2dx+02x24dx=-4∙x33-120+x31202 =-16+812=12.
Дисперсия непрерывной случайной величины
Dξ=-∞∞x-Mξ2f(x)dx=-∞∞x2f(x)dx-M2ξ
Dξ=-120-4x3dx+02x34dx=-x4-120+x41602- 122=116+1-14=1316=0,8125.
5