Задана плотность распределения ρx=Acos2x случайной величины на 0;π4, при x∉0;π4 ρx=0. Требуется: Найти параметр А; Построить графики

Задана плотность распределения ρx=Acos2x случайной величины на 0;π4, при x∉0;π4 ρx=0. Требуется: Найти параметр А; Построить графики плотности и функции распределения; Найти математическое ожидание M(), дисперсию D() и среднее квадратическое отклонение σξ; Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не более заданного ε=π16.

Найти параметр А
Плотность распределения ρx должна удовлетворять условию
-∞∞ρxdx=1
Для заданной функции
-∞∞ρxdx=-∞00dx+0π4Acos2xdx+π4∞0dx=A0π4cos2xdx=A2sin2x0π4=A2=1
A2=1 ⟹A=2
Плотность распределения имеет вид
ρx=2cos2x, при x∈0;π40, при x∉0;π4
Построить графики плотности и функции распределения
Найдем функцию распределения Fx. Используем формулу
Fx=-∞xρtdt
Если -∞<x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если 0<x<π4, то
Fx=-∞00dt+0x2cos2tdt=sin2t0x=sin2x
Если π4≤x<+∞, то
Fx=-∞00dt+0π42cos2tdt+π4x0dt=sin2t0π4=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, при -∞<x≤0sin2x, при 0<x<π41, при π4≤x<+∞
Найти математическое ожидание M(), дисперсию D() и среднее квадратическое отклонение σξ
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xρxdx=-∞0x∙0dx+0π4x∙2cos2xdx+π4∞x∙0dx=20π4xcos2xdx==u=xv=2cos2xdxdu=dxv=sin2x=xsin2x0π4-0π4sin2xdx=π4+12cos2x0π4=π4-12=π-24≈0,2854
Дисперсия
Dξ=Mξ2-Mξ2=-∞∞x2ρxdx-Mξ2=0π4x2∙2cos2xdx-π-242=u=x2v=2cos2xdxdu=2xdxv=sin2x=x2sin2x0π4-0π42xsin2xdx-π-242=u=xv=2sin2xdxdu=dxv=-cos2x=π42+xcos2x0π4-0π4cos2xdx-π-242=π216-12sin2x0π4-π-242=π216-12-π2-4π+416=π2-8-π2+4π-416=4π-1216=π-34≈0,0354
Среднее квадратическое отклонение
σξ=Dξ=π-34=π-32≈0,1881
Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не более заданного ε=π16
Pξ-Mξ≤π16=Pξ-π-24≤π16=Pπ-24-π16<ξ<π-24+π16=P3π-816<ξ<5π-816=F5π-816-F3π-816=sin2∙5π-816-sin2∙3π-816=sin5π-88-sin3π-88≈0,82119-0,17716≈0,644
Ответ: 1) A=2; 2) см графики выше; 3) Mξ=π-24≈0,2854; Dξ=π-34≈0,0354; σξ=π-32≈0,1881; 3) Pξ-Mξ≤π16≈0,644.