Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПУ  Тюменский педагогический колледж  №1

 ПЦК  математики и информатики 
 
 
 
 
 

Использование метода треугольника при решении  задач как основа формирования знаний и умений учащихся на уроках геометрии в основной школе. 
 
 
 
 
 

                                                                Выпускная квалификационная работа

                                                               по специальности 050302

                  математика

                                 студентки 416 рм. гр.

                                 школьного отделения

                                                               Измайловой Алены Сергеевны

                                     Научный руководитель:

                                            Митителу Татьяна Ивановна

                                               Отметка___________________ 

Тюмень 2009.

                                                              Содержание 

Введение                                                                                                             3 

Глава I. Треугольник  и основные методы решения задач при помощи треугольника.                                                                                                       5

1.1. Исторические сведения  треугольника и его элементы.                         5

1.2 Виды треугольников и их свойства.                                                            7

1.3 Основные методы решения задач при помощи треугольника.             11 

Глава II. Использования метода треугольника при решении геометрических задач как основа формирования знаний и умений  учащихся на уроках геометрии в основной школе.                                       18

2.1 Методические рекомендации по использованию метода треугольника в основной школе.                                                                                                18

2.2 Опыт учителя.                                                                                              26

2.3 Опытно-экспериментальная работа.                                                         31 

Заключение                                                                                                        44

Список  литературы                                                                                            45

Приложение                                                                                                       48 
 
 
 
 
 
 
 

                                            Введение

 «Высшее проявление духа - это разум. Высшее

проявление  разума – это геометрия. Клетка

  геометрии – треугольник.  Он так же неисчерпаем,

как и Вселенная….

А.А. Спирит 

     Простейший из многоугольников - треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах»- трех признаков равенства треугольников. Лишь на рубеже ХIX-XX вв. математики научись стоить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятие геометрического преобразования.

     За несколько тысячелетий геометрии столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

     В настоящее время на уроках геометрии используют три основных метода решения задач при помощи треугольника: метод подобия, метод площадей и метод треугольника. Но все-таки главным из них является метод треугольника, так как именно он первоначально изучается, а значит и закладывает основу формирования умения решать задачи. Потребность в решении треугольников, нахождение неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам, раньше всего возникла в астрономии. Все выше сказанное подтверждает актуальность выбранной темы.

     Объектом исследования является процесс обучения геометрии.

  Предмет: использование метода треугольника при решении  геометрических задач.

    Цель выпускной квалификационной работы заключается в том, чтобы оценить возможности использования метода треугольника при обучении решению задач.

Задачи:

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.
2. Изучить исторически сложившееся мнение о треугольнике, раскрыть основные понятия темы «Треугольник».
3. Выявить возможности использования метода треугольника при обучении решению геометрических задач.
4. Разработать и апробировать систему заданий, решаемые методом треугольника, способствующих  формированию умений и навыков решения задач   на уроках геометрии.

Гипотеза: Если в содержание уроков геометрии включать задания, решаемые методом треугольника: на использование теоремы Пифагора, теоремы синуса и косинуса, соотношение между сторонами треугольника, то это должно заложить основу формированию умений и навыков решения других видов геометрических задач на вычисление.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава I. Треугольник  и основные методы решения задач при помощи треугольника 

1. Исторические  сведения  треугольника и его  элементы

     Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности, т.к. эта фигура всегда имела широкое применение в практичной жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство местности треугольников для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и др. древних документах. В Греции учении о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, в школах Пифагора и др.; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал » Евклида. Среди «определений» которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же- имеющий только две равные стороны, разносторонний- имеющий три неравные стороны.»[ 6 ]                            

     Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

Вершины треугольника: А, В, С.

Стороны треугольника: АВ, ВС, АС.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВи АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. (Сумма углов треугольника равна .

     Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис.2).

     Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне треугольника (рис.3)

     Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, поведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника(рис.4).

Средняя линия треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 

ВЫВОД: Если обратится к истории, то в самом первом учебнике по геометрии - «Началах» Евклида можно найти следующее определение: «Совмещающиеся друг с другом равны между собой…». Прошло больше двух тысяч лет, а определение не изменилось....

      Треугольник имеет большое практическое значение в жизни человека. Его основные элементы тесно взаимосвязаны друг с другом. 
 
 
 
 

1.2 Виды треугольников и их свойства 

     Треугольники подразделяют на виды по сравнительной длине их сторон или по величине их углов.

В зависимости  от длины  сторон различают:

     1.Разносторонние треугольники, когда все стороны различной длины.

     2.Равносторонние( правильные) треугольники, у которого все стороны равны между собой.

     Свойства:

- Все  углы равны

- Каждая  из трех высот является также  биссектрисой и медианой.

- Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает  с центром окружности, вписанной  в него.

      3.Равнобедренные треугольники, у которых две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис.5).

     Свойства:

- В равнобедренном  треугольнике углы при основании  равны.

- Высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой и медианой. 

В зависимости  от величины углов различаются:

     1.Тупоугольные треугольники, когда среди углов есть тупой (рис.6).

   2.Остроугольные треугольники, когда все углы острые (рис.7). 
 
 
 
 

     3.Прямоугольные треугольники, когда среди углов есть прямой.(рис.8) 

     Стороны, заключающие прямой угол прямоугольного треугольника, называют катетами прямоугольного треугольника.

     Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.[ 3] 

      Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен .[1,72]

     Центральное место в геометрии  треугольника занимают свойства  так называемых «точек и линий»  С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника. 

        Следствия:

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
• Медианы треугольника пересекаются в одной токе.
• Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. [1,169]

     Первый признак  равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

     Второй признак равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

     Третий признак  равенства треугольников:

     Теорема (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. [18,32] 

Признаки  равенства прямоугольных  треугольников:

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному углу другого, то такие треугольники равны.
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны  гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.[ 1,73]                                                            

     В повседневной жизни встречаются  предметы одинаковой  формы, но  разных размеров, например футбольный  и теннисный мячи, круглая тарелка  и большое круглое блюдо. В  геометрии фигуры одинаковой  формы принято называть подобными.  Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Изложение темы «Подобные многоугольники» начинается в учебнике с изложения признаков подобия   простейшей геометрической фигуры-треугольника. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (обозначение ). [,Колягин Ю.М., 228] Ниже в работе автора  рассмотрены признаки подобия треугольника.    

ВЫВОД: У каждого вида треугольника есть свои определенные свойства. Зная лишь, к какому виду принадлежит данная фигура, человеку не составит труда  делать соответствующие умозаключения и использовать его в практической  жизни.  
 
 
 
 
 
 

         1.3Основные методы решения задач при помощи треугольника 

     В настоящее время на уроках  геометрии используют три основных метода решения задач при помощи треугольника. Потребность в решении треугольников (нахождение неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам) раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучаясь как один из отделов астрономии. Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.  

    1. Метод подобия

     Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобному искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник. Свойства подобных треугольников используют для проведения различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки. Очень часто метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач, в которых речь идет об отношениях отрезков.[1,143]  

      Основная теорема о подобных треугольниках: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники. [25,163]

     В соответствии с тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и три признака подобия треугольников. 

     Первый признак подобия треугольников.

     Теорема: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.  

Второй  признак подобия  треугольников.

     Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий  признак подобия  треугольников.

     Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. 
 
 
 
 

                                                                                                                                 [20,164] 

Подобные  между собой треугольники обладают одним очень важным свойством, которое является характерным для любых подобных фигур.

     Теорема: Отношение любых соответствующих линейных элементов двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. [26,165]        

    2. Метод площадей

     Этот метод оказывается близким «родственником» метода подобия. Во всяком случае, во многих теоремах и задачах они с успехом заменяют друг друга.  [ 26,265]

     Площадь треугольника:

• Площадь треугольника равна половине произведения  его стороны на высоту, проведенную к этой стороне, т.е.   
• Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними, т.е.  
• Если треугольник равносторонний. То площадь его определяется формулой    ,  где а- сторона треугольника.
• Формула Герона. Это формула, выражающая площадь треугольника через три его стороны а, b и c: 

             где     - полупериметр. 

     3. Метод треугольника

      Как известно, с давних времен, существует целая наука тригонометрия ("тригон"- по-гречески означает "треугольник"). С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти длины всех его сторон. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. [7,136]

     Рассмотрим основные составляющие данного метода: 

Используя свойства площадей многоугольников, можно  установить замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Такая теорема называется теоремой Пифагора и является важнейшей теоремой геометрии.

     - Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

     - Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

     Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

     Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

      Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.                                    

                                                                                             [18,107] 

    - О соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема : в треугольнике против большей стороны лежит больший угол .

Следствие: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета.

Теорема (неравенство треугольника): в каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон.

Теорема о сумме углов  треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.

Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают и на другой его стороне.

     Следствия:

•  В треугольнике может быть только один неострый (прямой или тупой угол).

•  Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

•  Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних , не смежных с ним углов.

•  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 

-Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

                       ,  где R-радиус описанной окружности

- Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус двоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.       

[1,242]

     Для более детального рассмотрения метода треугольника как основного способа нахождения того или иного элемента, целесообразно рассмотреть типовые задачи, которые вводятся учебной программой на протяжении всего курса геометрии 7-11 класс,  
 

Задача1: Четырехугольник ABCD- параллелограмм с периметром 10см. Найдите BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8см.

Задача2: Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Задача3: Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.

Задача4: Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной k.

Задача5: Дана трапеция с острыми углами при основании и β. Меньшее ее основание равно 4м, а высота равна 3м. Найдите боковые стороны, большее основание и диагонали трапеции.

Задача6: В прямоугольник со сторонами 3 и 4м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 1: 3. Найдите площадь этого прямоугольника.