Контрольная работа по "Статистика". 14

Министерство образования и науки РФ

 

 

ФГБОУ ВО «Сибирский государственный технологический университет»

 

 

 

Факультет: ИЭДО

Кафедра Управление качеством и математические методы экономики

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил:

_____________________________

(подпись)

 

(оценка, дата)

Выполнил:

Студентка группы 3803-21у

______________О.Н. Лайзан

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Красноярск 2016

 

ВАРИАНТ 13

 

Задание 1

 

Определить значения признаков, используя цифры номера зачетной книжки. Результаты определения исходных данных приведены в таблице 1.

 

Таблица 1 - Исходные данные по выборочной совокупности

 

Факторный признак X	Результативный признак Y	Номер предприятия
трудозатраты, тыс. чел-дн.	вне реализационные расходы, т.р..
200	1077	1
150	471	2
205	1425	3
112	128	4
236	663	5
271	148	6
184	982	7
135	225	8
311	1283	9
195	1587	10
200	862	11
123	418	12
100	15	13
300	1195	14
205	1175	15
145	208	16
202	718	17
145	539	18
206	1614	19
121	265	20
232	1146	21
267	395	22
180	908	23
132	246	24
311	754	25
195	1404	26
204	845	27
123	645	28
111	172	29
282	1971	30

 

1.1  Провести статистическую  группировку 30 предприятий по двум  признакам и в соответствии  с вариантом.

Проведем ранжирование данных таблицы 1 по факторному признаку Х. Результат ранжирования по Х приведен в табл. 2. Здесь же определим минимальные  и максимальные значения факторного и результативного признаков.

Результат ранжирования по Y приведен в табл.3.

Рассчитываем длины интервалов для факторного и результативного признаков и выделяем группы фирм. Длина интервала для каждого признака определяется по формуле Стерджесса

n = 1 + 3,322 lgN= 1 + 3,322 lg30 = 5,907 ,

где n и N - число групп и единиц в статистической совокупности соответственно.

 

 

Округляя, принимаем n = 6. Тогда

 

Таблица 2 – Ранжирование по факторному признаку

 

факторный признак X	результативный признак Y	номер предприятия
трудозатраты, тыс. чел-дн.	внереализационные расходы, т.р..
100	15	13
111	172	29
112	128	4
121	265	20
123	418	12
123	645	28
132	246	24
135	225	8
145	208	16
145	539	18
150	471	2
180	908	23
184	982	7
195	1587	10
195	1404	26
200	1077	1
200	862	11
202	718	17
204	845	27
205	1425	3
205	1175	15
206	1614	19
232	1146	21
236	663	5
267	395	22
271	148	6
282	1971	30
300	1195	14
311	1283	9
311	754	25
100	минимум
311	максимум
192,77	среднее-арифметическое

 

 

Таблица 3 – Ранжирование по результативному признаку

 

факторный признак X	результативный признак Y	номер предприятия
трудозатраты, тыс. чел-дн.	внереализационные расходы, т.р..
100	15	13
112	128	4
271	148	6
111	172	29
145	208	16
135	225	8
132	246	24
121	265	20
267	395	22
123	418	12
150	471	2
145	539	18
123	645	28
236	663	5
202	718	17
311	754	25
204	845	27
200	862	11
180	908	23
184	982	7
200	1077	1
232	1146	21
205	1175	15
300	1195	14
311	1283	9
195	1404	26
205	1425	3
195	1587	10
206	1614	19
282	1971	30
	15	минимум
	1971	максимум
	782,80	среднее-арифметическое

 

По найденным значениям длин интервалов рассчитываем границы интервалов. Нижняя граница первого интервала должна быть равна минимальному значению соответствующего признака. Верхняя граница первого интервала факторного признака равна сумме его нижней границы и длины интервала ix, а верхняя граница первого интервала результативного признака равна сумме его нижней границы и длины интервала iy нижняя граница второго интервала равна верхней границе предыдущего интервала данного признака. Верхняя граница второго интервала больше его нижней границы на длину интервала и т.д. Результаты расчетов представлены в табл. 4 и 5.

Центры интервалов Хц к для расчета общей средней рассчитываем как пoлусуммы границ соответствующих интервалов. Далее подсчитывается число фирм fk, попавших в k-ый интервал и средние групповые значения Xср k (отдельно для каждой из групп - по данным фирм, входящих в группу). Последние два столбца являются вспомогательными для расчета общей средней величины признаков двумя способами: как взвешенной по средним групповым и как взвешенной по центрам интервалов.

 

 Таблица 4 - Границы интервалов по факторному  признаку (при Х мин  = 100)

 

Группа	Границы по Х		Число фирм fk	Среднее Xk	Центр Xц к	Общая средняя взвешенная величина по средним групповым Xк ∙ fk	Общая средняя взвешенная величина по центрам интервалов Xц к∙ fk
	нижняя	верхняя
1	100	135,167	8	119,63	117,5835	957	940,668
2	135,167	170,334	3	146,67	152,7505	440	458,2515
3	170,334	205,501	10	197,00	187,9175	1970	1879,175
4	205,501	240,668	3	224,67	223,0845	674	669,2535
5	240,668	275,835	2	269,00	258,2515	538	516,503
6	275,835	311,002	4	301,00	293,4185	1204	1173,674
Сумма			30			5783	5637,525

 

Таблица 5 – Границы интервалов по результативному признаку (при Y мин  = 15)

 

Группа	Границы по Y		Число фирм fk	Среднее Yk	Центр Yц к	Общая средняя взвешенная величина по средним групповым Yк∙ fk	Общая средняя взвешенная величина по центрам интервалов Yц к ∙ fk
	нижняя	верхняя
1	15	341	8	175,88	178	1407	1424
2	341	667	6	521,83	504	3131	3024
3	667	993	6	844,83	830	5069	4980
4	993	1319	5	1175,20	1156	5876	5780
5	1319	1645	4	1507,50	1482	6030	5928
6	1645	1971	1	1971,00	1808	1971	1808
Сумма			30			23484	22944

 

На основе таблиц 4-5 строится комбинационная группировка (см. табл. 6), где каждая группа, полученная по факторному признаку, разбивается на подгруппы по результативному признаку.

 

Таблица 6 Комбинационная таблица по интервалам

 

Группы по Х			Группы по У						Количество
Номер	границы		1	2	3	4	5	6
			нижние и верхние границы
			15	341	667	993	1319	1645
	нижняя	верхняя	341	667	993	1319	1645	1971
1	100	135,167	6	2					8
2	135,167	170,334	1	2					3
3	170,334	205,501			5	2	3		10
4	205,501	240,668		1		1	1		3
5	240,668	275,835	1	1					2
6	275,835	311,002			1	2		1	4
Итого фирм в группе			8	6	6	5	4	1	30

 

 

1.2  Рассчитать общие средние  величины по факторному и результативному  признакам разными способами: как  простые средние арифметические, как средневзвешенные из групповых  средних, как средневзвешенные из середин интервалов. Выявить преимущества и недостатки этих способов с точки зрения точности получения результатов, простоты и эффективности проведения расчетов в макроэкономических исследованиях.

Групповые средние величины рассчитываются отдельно для каждой из групп по данным фирм, входящих в группу

             

Где k – номер группы (интервала); j – номер предприятия в k-ом интервале.

Результаты расчета групповых средних арифметических для признаков X и Y приведены в 5-ых столбцах таблиц 4-5.

Находим общие средние по каждому изучаемому признаку (данные для расчетов и результаты промежуточных вычислений приведены в таблицах 4-5, 9):

- на основе простой средней  арифметической (истинная средняя)

 тыс. чел-дн.,     т. р.

- по формуле взвешенной из  средних групповых

 тыс. чел-дн.,

 т. р.

- по формуле взвешенной из  середин интервалов каждой группы

 тыс. чел-дн.,

 т. р.

Где i – номер фирмы (i = 1,2,…30); k – номер группы; f k – число фирм в k-ой группе.

Видим, что значения общих средних, найденных на основе простой средней арифметической и по формуле взвешенной из средних групповых совпадают, что следует из выражений, по которым они определяются. Это свидетельствует о высокой точности вычисления общих средних по формуле взвешенной из средних групповых (здесь могут возникать незначительные расхождения из-за округлений промежуточных результатов - средних групповых значений), а также о том, что групповые и общие средние величины найдены правильно.

Погрешности расчетов общих средних по формуле взвешенной из середин интервалов составят:

 

 

Обобщая результаты расчета средних величин можно сделать вывод, что самый простой способ нахождения значений общих средних - расчет по формуле взвешенной из середин интервалов  каждой группы (при его использовании значительно сокращается объем вычислений, т.к. не требуется ни расчета среднегрупповых значений (формула взвешенной из средних групповых), ни довольно ресурсоемкой работы по суммированию всех исходных данных (формула простой средней арифметической). Однако, из-за несовпадения значений центров интервалов и среднегрупповых значений, этот способ может давать результаты с относительно высокой погрешностью. Поэтому, его применение там где требуется высокая точность, должно быть ограничено.

 

1.3 По факторному признаку рассчитать, структурные средние: моду и медиану. Проверить величину моды графическим способом. Оценить симметричность распределения факторного признака по местоположению моды, медианы и средней арифметической величины.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, то есть тот интервал, который имеет наибольшую частоту.

 

Таблица 7 – Группировочная таблица для расчета накопленных частот по факторному признаку

 

Группа	Границы по Х		Число фирм	Накопленная частота
	нижняя	верхняя
1	100	135,167	8	8
2	135,167	170,334	3	11
3	170,334	205,501	10	21
4	205,501	240,668	3	24
5	240,668	275,835	2	26
6	275,835	311,002	4	30

 

В данном случае – интервал [170,334; 205,501). Конкретное значение моды определяется по формуле:

где ХМо = 170,334 - нижняя граница модального интервала:

       i = 35,16 - величина модального интервала;

     fМо = 10 - частота модального интервала;

     fМо-1 = 3 - частота интервала, предшествующего модальному;

     fМо+1 = 3 - частота интервала, следующего за модальным.

 

 тыс. чел-дн.,

Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Место медианы

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором  находится медиана. Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений - интервал [170,334; 205,501). Численное значение медианы определяется по формуле:

где ХМе = 170,334 - нижняя граница медианного интервала;

       i = 35,16 - величина медианного интервала;

       SМе-1 = 11 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; 

      fМе = 10 - частота медианного интервала.

 

 тыс. чел-дн.

На основании этих результатов может утверждать, что фирмы имеющие трудозатраты в размере 184,398 тыс. чел-дн. будут встречаться чаще других и, что количество фирм, имеющих трудозатраты меньше и больше 184,398 тыс. чел-дн. будет одинаковым.

 

Коэффициент асимметрии можно рассчитать по трем формулам с учетом значений моды, медианы и среднего арифметического:

As = (Xобщ – Ме)/ух;

As = (Xобщ – Мо)/ух;

As = м3/у3х;

где м3 - центральный момент третьего порядка, рассчитывается по формуле:

 

 

Расчет As будем проводить по последней формуле, т.к. она позволяет получить более точный результат при асимметричном распределении, т.е. когда Мо ≠  Ме ≠  Хобщ.

При левосторонней асимметрии As < 0, при правосторонней асимметрии Аs > 0, для нормального распределения As = 0.

Асимметрия является значительной, если As > 0,5 по абсолютной величине, при ׀As׀ < 0,25 ее считают незначительной.

 

Для симметричных распределений определяется показатель эксцесса Ек:

Где м4 - центральный момент четвертого порядка, равный:

 

При островершинном распределении Ек > 0, при нормальном Ек = 0, при плосковершинном распределении Ек < 0.

Степень существенности коэффициента Ек определяют по величине среднеквадратической ошибки

 

Если Ек /yEk, > 0, значение Ек является существенным. Если Ек/yEk < 0 значение Ек является несущественным.

Степень существенности коэффициента As определяют по величине среднеквадратической ошибки

Если отношение |As|/yAs > 3, асимметрия существенна и распределение признака в

генеральной совокупности не является симметричным. В противном случае асимметрия несущественна и может возникнуть под влиянием случайных колебаний признака.

Для расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса составим вспомогательную таблицу.

 

Таблица 8 - Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса

 

Группа	Границы по Х		Число фирм fk	Среднее Xk	Xк -X	(Xк –X)3∙fk	(Xк –X)4∙fk
	нижняя	верхняя
1	100	135,167	8	119,63	-73,14	-3129647,864	228892012,6
2	135,167	170,334	3	146,67	-46,10	-293852,7913	13545634,17
3	170,334	205,501	10	197	4,23	758,6603704	3211,662235
4	205,501	240,668	3	224,67	31,90	97415,80849	3107889,01
5	240,668	275,835	2	269	76,23	886063,2521	67547555,25
6	275,835	311,002	4	301	108,23	5071577,811	548913771,7
Сумма			30			2632314,877	862010074,4

 

Находим:

- центральный момент третьего  порядка

- коэффициент асимметрии

As = м3/у3х = 87743,8292/61,5413 = 0,376,

что больше нуля, следовательно, асимметрия правосторонняя. Т.к. ׀As׀ < 0,5 асимметрия является не значительной.

- среднеквадратическая ошибка

 

Т.к. отношение ׀As׀/y As, = 0,376/0,412 = 0,912 не превышает 3, то асимметрия несущественна (могла возникнуть под влиянием случайных колебаний признака), и распределение признака в генеральной совокупности является симметричным.

Для симметричных распределений определяется показатель эксцесса:

 

- центральный момент четвертого порядка:

 

 

- коэффициент  эксцесса:

 

Ек = м4/у4х - 3 = 28733669,1467/61,5414 – 3 = - 0,996,

что меньше нуля, следовательно распределение плосковершинное.

 

- среднеквадратическая ошибка

 

 

Т. к. Ек/yЕк = - 0,996/0,749 = - 1,32 , значение  Ек является не существенным.

 

Построим гистограмму и кумуляту по факторному признаку. Построения производим ни основании данных группировочной таблицы (см. табл. 7). Результаты построений приведены на рис. 1, и рис. 2. Там же показаны мода и медиана, найденные графическим способом. По рисункам видно, что значения моды и медианы, найденные графическим способом и расчетным путем совпадают.

 

Рисунок 1 – Гистограмма распределения фирм по факторному признаку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Кумулята распределения фирм по факторному признаку

 

Проводим расчет средних групповых значений по факторному и результативному признакам (при этом групповые средние по результативному признаку определяются по группам фирм, полученным при группировке по факторному признаку в абсолютном и относительном выражении). Исходными к расчету являются исходные данные по фирмам, ранжированные по Х (табл. 2). Результаты расчетов приведены в табл. 8. По рассчитанным групповым средним значениям для каждой группы определяем относительные показатели (групповые средние в относительном выражении). Приняв средние значения факторного и результативного признаков первой группы за 100%. по формулам:

 

ОПХк = Хк∙100/Х1;    ОПУк = Ук∙100/У1.

 

Таблица 8 - Относительные величины факторного и результативного признаков

 

Группа	Границы по Х		Абсолютные значения		Относительные значения, %
	нижняя	верхняя	среднее Xк	среднее Ук	ОПXк	ОПУк
1	100	135,167	119,625	175,88	100	100
2	135,167	170,334	146,667	521,83	122,605	296,707
3	170,334	205,501	197	844,83	164,681	480,360
4	205,501	240,668	224,667	1175,20	187,809	668,202
5	240,668	275,835	269	1507,50	224,869	857,143
6	275,835	311,002	301	1971,00	251,620	1120,682