Анализ и синтез линейной системы автоматического управления. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

         НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ                                     

                                           УНИВЕРСИТЕТ

 

                          Курсовая работа                   

               по дисциплине «Теория автоматического  управления» 

 

 

 

 

 

Факультет: ФМА

Группа:

Студент:

Преподаватель: Глазырин  М.В.

 

 

 

 

 

                                                 

                                                          НОВОСИБИРСК 2009

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ             Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

Утверждаю:        Зав. кафедрой ЭАПУ

__________________2009 г.

^{ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА}

Курсовая работа по дисциплине “Теория автоматического управления” Тема: Анализ и синтез линейной системы автоматического управления

Студент:  Группа________________________

Направление: 140600 «Электротехника, электромеханика и      электротехнологии »

Руководитель  курсовой работы /__________________/__

Курсовая работа сдана на проверку____________________________________

Курсовая работа защищена ” ” 2009 г._______

Оценка 

Члены комиссии: ____________________/______________________/_______ 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

_{ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ}

Студент Группа_______________________

Тема:   АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Срок  представления работы к защите " " 2009г.

Исходные  данные для проектирования:

• Вариант задания     _   
• Структурная схема и значения параметров САУ (Приложение 1 таблицы П-1.1 и П-1.2),
• Входное воздействие    управляющее g(t) = 1 [g(t) = v*t, v = 1],
• Требования, предъявляемые к САУ:

 

1. Допустимая статическая [скоростная] ошибка не более ________________________
2. Допустимое время регулирования не более__________________________________
3. Допустимое максимальное перерегулирование не более________________________
4. Допустимое количество колебаний не более__________________________________

Содержание  пояснительной записки:

1. Анализ системы автоматического управления 
Исходные данные

1. Исследование заданной системы на устойчивость двумя критериями.
2. Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме.
3. Выводы.

2. Синтез системы автоматического управления 
Исходные данные

1. Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ.
2. Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик.
3. Выводы.

3. Проверка результатов синтеза

1. Определение запасов устойчивости скорректированной САУ.
2. Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом.
3. Выводы.

Перечень  графического материала:

• Структурные схемы заданной и скорректированной систем управления.
• Частотные характеристики.
• Переходные функции.
• Электрическая схема корректирующего устройства.

Руководитель  курсовой работы___________________/__________________/__

Задание принял к  исполнению ” ” 2009 г.

1.Анализ системы  автоматического управления.

Исходные данные

Структурная схема линейной системы автоматического управления (Рис.1.1)

 

 

 

                     Рис.1.1

Значение параметров:

К=0.75      К₁=6      К₂=4      К₃=5.1      К₅=4.8     τ=0.004

Т=0.38      Т₁=0.074      Т₂=0.013      Т₃=0.045      Т₄=0.015      Т₅=0.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1 Исследование  заданной системы на устойчивость  двумя критериями

Под устойчивостью подразумевается  способность системы возвращаться в исходное или близкое к нему состояние, после снятия внешнего воздействия  с системы.

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица относится  к алгебраическим критериям устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического  уравнения: 

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно,  чтобы определить Гурвица и все  его главные диагональные миноры были положительными.

Правило составления  определителя Гурвица: по главной диагонали записывается в порядке возрастания индекса коэффициента характеристического уравнения начиная с, вниз от главной диагонали записываются коэффициенты с убывающим индексом, вверх с возрастающим, недостающие заполняются нулями. Для определения характеристического уравнения нужно получить передаточную функцию замкнутой системы.

 

                                                    Рис.1.2

a) Сначала определим передаточную функцию разомкнутой системы. Для получения замкнутой функции по управляющему воздействию, возмущающие воздействие приравнивается к нулю (F(p)=0).

Для получения передаточной функции разомкнутой системы  размыкается главная обратная связь и точка разрыва считается входом и выходом системы.

Затем преобразуем структурную  схему САУ. По правилу определения  передаточной функции нескольких последовательно  соединенных звеньев найдем результирующую передаточную функцию. Она равна  произведению передаточных функций  отдельных звеньев.

 

 

 

Введем следующие обозначения:

 

 

 

 

Для получения передаточной функции разомкнутой системы  размыкается главная обратная связь и точка разрыва считается входом, выходом системы. Затем преобразуем структурную схему САУ.

Звенья W₁(p) и W₂(p) соединены посредством обратной связи, поэтому их эквивалентное звено будет иметь следующий вид:

 

Звенья W₁₂, W₃, W₄ соединены последовательно, поэтому передаточная функция разомкнутой системы будет иметь следующий вид:

 

 

 

После преобразования у нас  осталось одно звено с передаточной функцией W_кон(p)=W(p)_зам –передаточная функция по управляющему воздействию в замкнутом состоянии.

 

                  G(p) x_вых(p)

 

 

 

Подставим значения всех К и Т:

 

б) Найдем передаточную функцию по управляющему воздействию в замкнутом состоянии.

 

  Запишем характеристическое уравнение САУ в замкнутом состоянии. Для нахождения характеристического уравнения САУ в замкнутом состоянии приравняем к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы, получим:

 

Зная характеристическое уравнение, мы можем составить определитель Гурвица и его главные диагональные миноры. Используем программу Mathcad 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия устойчивости Критерия Гурвица не выполняются (для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы определить Гурвица и все его главные диагональные миноры были положительными), следовательно, данная САУ не является устойчивой.

Критерий Найквиста (в логарифмических координатах)

Критерий Найквиста относиться к частотным критериям устойчивости. Частотные критерии устойчивости позволяют  судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик.

Для определения устойчивости необходимо рассмотреть логарифмические  амплитудно-частотные характеристики. По их взаимному расположению судят  об устойчивости замкнутой системы.

Сформулируем  Критерий Найквиста в логарифмических  координатах:  

Если разомкнутая система  устойчива, то для устойчивости заданной САУ необходимо и достаточно, чтобы  ЛФЧХ при изменении частоты от 0 до пересекала линию 180  град. справа от частоты среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс).

Преобразуем структурную  схему АСУ в одноконтурную, состоящую из последовательно соединенных типовых динамических звеньев. Часть преобразований мы проделали при нахождении передаточной функции.

 

       G(p)                 x_вых(p)

 

            (-)

 

 

 

 

 

K₁=K₃                    TT₁=T_э7²                      T+ T₁+ K₁T=T_э8

K₅=6

T_э7²=0.02812

T_э8=2.734

Определим коэффициенты демпфирования:

 

 

Т.к. коэффициент демпфирования  для первого колебательного звена  больше 1, то передаточную функцию колебательного звена раскладываем на два апериодических звена.

Для второго колебательного звена коэффициент демпфирования  меньше 1, следовательно, его оставляем  неизменным.

 

 

 

 

 

Преобразуем уравнение:ap²+bp+c=a(p-p₁)(p-p₂)

 

 

 

Дадим обозначение каждому  звену, структурная схема примет вид:

                                                                                                                        X_вых(p)

G(p)

     (-)

 

или

G(p )                                                 

(-) 

                Рис.1.3

Таким образом, получается система , состоящая из трех апериодических, одного колебательного и одного форсирующего звеньев. Значит  ЛАЧХ  будет иметь пять изломов в точках.

Находим частоты сопряжения:

 

 

 

 

 

Рассчитаем величину 20lgК_p=20lgK₆K₇K₂K₃=

Полученные величины откладываем  на соответствующих осях координат. ЛАЧХ состоит из пяти участков:

1)Горизонтального, проведенного  на высоте 20lgK_p =41.18дБ(т.к. в системем отсутствует интегрирующие звено).

2)Участка с наклоном  -20дБ/дек

3) Участка с наклоном  -20дБ/дек+20дБ/дек=0дБ/дек

4) Участка с наклоном  0дБ/дек-40дБ/дек=-40дБ/дек

5) Участка с наклоном  -40дБ/дек-20дБ/дек=-60дБ/дек

6) Участка с наклоном  -60дБ/дек-20дБ/дек=-80дБ/дек

Для построения ЛФЧХ по оси  ординат откладывают величину фазы φ в градусах, а по оси абсцисс логарифм частоты в декадах. В этом случае фазовая характеристика звена определяется выражением:

 

 

 

 

    

Выражение для фазы всей системы имеет следующий вид:

     

 

Изменяя частоту ω, найдем значение фазы   . Результаты запишем в таблицу:

ω	log ω	, град
0.38	-0.42	-0.938
2.63	0.42	-3.14
5	0.7	-3.606
10	1	-3.966
17	1.23	-4.442
20	1.3	-4.919
22.22	1.34	-93.917
25	1.4	-182.97
40	1.6	-183.7
55	1.74	-183.82
76.92	1.89	-183.91
85	1.93	-183.93
100	2	-183.95

 

Графики представлены на миллиметровке.

Если разомкнутая система  устойчива, то для устойчивости заданной САУ необходимо и достаточно, чтобы  ЛФЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ пересекала линию 180 град. справа от частоты среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс).

Это условие не выполняется, следовательно, система не устойчива.

1.2.Определение  ошибки заданной САУ в установившимся  режиме.

Передаточная функция  ошибки по управляющему воздействию.

 

E(p)                    

 G(p) x_вых(p)

   (-)

 

Рис.1.4

Допустим, что  , следовательно , тогда по аналогии получим для:

 

 

Когда на вход устойчивой системы  подается единичный сигнал x_вх=1(t) в установившемся режиме, ошибка будет определяться по формуле:

 

 

ε_стат=0.0081>ε_доп=0.0068

1.3. Выводы:

1)Из приведенного выше  анализа следует, что заданная САУ не является устойчивой и по критерию Гурвица и по критерию Найквиста.

2)Статическая ошибка больше  допустимой, т.е. не удовлетворяет  заданному условию.

 

 

 

 

 

2. Синтез системы  автоматического управления.

Синтез- это выбор структуры  и параметров системы так, чтобы  она удовлетворяла заранее поставленным требованиям, при этом предъявляются  как общеинженерные требования в  отношении веса, габаритов, надежности, стоимости и т.д., так и специфически требования в отношении динамических свойств системы.

При проектировании автоматических систем приходиться решать такие  задачи, как обеспечение устойчивости и качества процесса регулирования, имеющие противоречивый характер. Удовлетворительное решение первой задачи, соответствующее  нужному запасу устойчивости, может  привести к неудовлетворительным характеристикам  в переходном процессе или в установившемся режиме. Возможен и противоположный  случай, когда реализация требуемых характеристик качеств, например связанная с повышением точности в установившемся типовом режиме, сопровождается чрезмерным понижением запаса устойчивости. Противоречие между двумя задачами особенно наглядно проявляется, если делается попытка решить их одним и тем же способом. Например, уменьшение ошибок в установившемся режиме методом повышения коэффициента усиления в разомкнутой системе, как правило, приводит к уменьшению запаса устойчивости. Метод, используемый для повышения статической точности, - повышение порядка астатизма – также неблагоприятно сказывается на устойчивости, уменьшая запас устойчивости и увеличивая колебательность процесса.

Удовлетворительное решение  задачи реализации, как требуемого запаса устойчивости, так и качества процесса регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании упомянутых методов и изменении структуры системы или включении корректирующих устройств в прямую цепь либо цепь внутренней обратной связи. Основное назначение корректирующего устройства – изменение динамических свойств системы в направлении желаемых характеристик, что проявляется в изменении усиления по отдельным гармоникам или только в той или иной динамической характеристики. Влияние корректирующего устройства на динамические свойства системы проявляется также и в изменении фазовой характеристики. Использование корректирующих устройств наряду с изменением коэффициента усиления в разомкнутой цепи и изменением порядка астатизма приводит в конечном итоге к деформации частотных характеристик, что и определяет коррекцию динамических свойств системы.

Исходные данные:

Допустимая статическая  ошибка не более ε(∞)_доп=0.0068

Допустимое время регулирования  не более Т_{рег.доп.}=1.35

Допустимое максимальное перерегулирование не более σ  _max,доп =25%

2.1 Определение  требуемого коэффициента передачи  синтезируемой САУ

Для статических систем требуемый  коэффициент передачи, обеспечивающий дополнительную ошибку в установившемся режиме, определяется так:

 

К_тр>К_исх (К_исх=561.50.015.14=114.55), следовательно, в контур САУ необходимо включить дополнительный усилитель:

 

Дополнительный коэффициент  усиления включим сразу после  сумматора. Структурная схема САУ  изображена на рисунке:

G(p) F(p)   x_вых(p)

 

   (-)

   

                                     Рис.2.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Синтез корректирующих  устройств методом логарифмических  частотных  характеристик

Наиболее приемлемы для  целей синтеза логарифмические  амплитудные характеристики, т.к. построение ЛАХ, как правило, может делаться почти без вычислительной работы. Особенно удобно использовать ЛАХ.

Одним из наиболее распространенных способов улучшения динамических свойств  САУ является охват дополнительной, местной обратной связью, одного или  нескольких звеньев неизменяемой части  системы. Звенья, с помощью которых  осуществляются эти связи, называются параллельными корректирующими  устройствами. Параллельное корректирующие устройство изменяет динамические свойства тех звеньев прямого канала системы, которые оно охватывает, и таким образом обеспечивает необходимое изменение динамических свойств всей системы. Для коррекции САУ применим параллельное корректирующие устройство, осуществляющее гибкую обратную связь, т.к. гибкие обратные связи действуют только в переходном режиме и не влияют на точность системы в установившемся режиме. Поэтому они находят наибольшее применение для улучшения динамических свойств системы. Надо отметить, что параллельные корректирующие устройства используются чаще, чем последовательные, благодаря следующим преимуществам:

1) Системы с параллельной  коррекцией в меньшей степени  подвержены влиянию помех.

2) Параллельное корректирующие  устройство значительно уменьшает  влияние нестабильности параметров  охваченных им элементов на  динамические свойства системы.

3) Как правило, не требует  включения дополнительных усилителей (при гибких обратных связей).

Включим корректирующее устройство следующим образом:

G(p) F(p)  x_вых(p)

  (-)

 

 

                           Рис.2.2.

 

 

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции:

1. Строится низкочастотная  область асимптотической нескорректированной  ЛАЧХ системы в разомкнутом  состоянии.

Построения проводятся с  учетом К_тр

20lgК_тр=41.55дБ

2. Строится асимптотическая  желаемая ЛАЧХ - L_ж (ω)

Построения будем вести  позонно, начиная со среднечастотной зоны.

Для построения СЧЗ необходимо определить частоту среза ω_с желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

Определить ω_с . Для этого воспользуемся номограммами В.В.Солодовникова [1,стр.38].

При заданном σ _max,доп =25% определяем P_max=1.23. По P_max и графику Т_рег=f( P_max) находится соотношение между временем регулирования и частотой среза желаемой ЛАЧХ.

 

При заданном допустимом времени  регулирования (Т_{рег.доп}=1.35с) частоту среза найдем по формуле:

 

 

Определим ординаты начала и конца среднечастотной зоны.

Ординаты начала и конца  СЧЗ ориентировочно берутся равными  требуемому запасу устойчивости по модулю ΔL_тр с разными знаками. Требуемые запасы устойчивости определяем по номограмме В.В.Солодовникова [1 стр.38].

Получаем при P_max=1.23 требуемый запас устойчивости ΔL_тр=19дБ, по фазе γ_тр=35⁰.

Среднечастотная асимптота  L_ж (ω) проводится под наклоном -20дБ/дек через точку на оси абсцисс, имеющую частоту в логарифмическом масштабе lg ω_с. Начальную и конечную ординаты принимаем равными ±19дБ.

В низкочастотной зоне L_ж (ω) должна совпасть с L_нс (ω). Поэтому построение      L_ж (ω) имеет смысл продолжить с участка асимптоты, соединяющего среднечастотную и низкочастотную зоны. Поведем его под наклоном -20дБ/дек от частоты lgω₁ влево до пересечения с характеристикой L_YC (ω). В точке пересечения при частоте lgω₀ наклон оставляем прежним -20дБ/дек и проводим асимптоту L_ж (ω), совпадающую с  L_YC (ω).

При построении высокочастотной  зоны, чтобы не усложнять параллельное корректирующее устройство, начиная  с частоты  lgω₁₁ до lgω₇ , проводим её под наклоном -60дБ/дек. При частоте lgω₇ наклон L_ж (ω) также оставляем -60дБ/дек.

3. Строится асимптотическая ЛАЧХ неохваченных звеньев – L_НО (ω).

Передаточная функция  неохваченных звеньев имеет вид:

 

Неохваченными являются: апериодическое звено, колебательное звено и  коэффициент усиления. В этом случае для построения L_НО (ω) достаточно рассчитать:

1)

2) Частоту сопряжения  колебательного звена

 

 

3) Частоту сопряжения  апериодического звена

 

 

По этим параметрам строится L_НО (ω).

4. Определяется ЛАЧХ параллельного  корректирующего устройства - L_ОС (ω)

Характеристику L_ОС (ω) в области частот от lgω₀ до ∞ находим графическим вычитанием ординат L_ж (ω) из ординат L_НО (ω). В низкочастотной зоне, чтобы реализовать гибкую обратную связь, L_ОС (ω) проводим под наклоном +20дБ/дек, продолжая L_ОС (ω), расположенную правее частоты lgω₀.

5. Определяется электрическая  схема, передаточная функция и  соотношение параметров корректирующего  устройства.

По виду L_ОС (ω) выберем корректирующее устройство. Оно изображено на рисунке 2.4.

 

 

             R₄            C₁              R₂

 L₁

U₁ U₂

 

                 R₃ R₁

 

 

Рис.2.4. Электрическая схема  корректирующего устройства.

Запишем передаточную функцию  корректирующего устройства:

 

T₁=T₂=0.025c^-1

T₃=0.013c^-1

20lgk_доп=43.33дБ

k_доп=146.7

 

2.3. Выводы:

Так как требуемый коэффициент  передачи больше исходного, в схему  необходимо включить дополнительный усилитель, так же это позволит уменьшить  статическую ошибку. Для коррекции  исходной САУ также необходимо включить параллельное корректирующее устройство. Использование корректирующего  устройства наряду с изменением коэффициента усиления в разомкнутой цепи приводит к деформации частотных характеристик, что и определяет требуемую коррекцию  динамических свойств системы.

 

 

 

 

 

3. Проверка результатов  синтеза

3.1. Определение  запасов устойчивости скорректированной  САУ.

Устойчивость является необходимым  условием нормального функционирования системы автоматического регулирования. Поэтому устойчивость системы должна иметь место не только в случае постоянства её параметров, но и тогда, когда они в процессе эксплуатации по тем или иным причинам в определенных пределах изменяются. Это может быть выполнено, если система работает не на границе устойчивости, а в достаточном отдалении от неё.

Иначе говоря, система автоматического  регулирования должна обладать некоторым  запасом устойчивости, обеспечивающим работоспособность её в различных  условиях эксплуатации. Введение запаса устойчивости имеет значение ещё  и потому, что обеспечивает работу системы со значительно меньшей  колебательностью  процесса регулирования, чем в случае работы её в режиме, близком к границе устойчивости.

Построенная ЛАЧХ - L_ж (ω) включает следующие звенья: интегрирующее, колебательное.

Передаточная функция  имеет вид:

 

Значения Т_х1 определяем из графика.

lgω_x1=1.6           Т_х1=0.025

K_тр=561.5*0.01*5.1*4=114.55дБ

 

Определяем запас устойчивости по фазе и модулю. Для этого построим ЛФЧХ:

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.1 Фазочастотная  характеристика

ω	lgω
0.38	-0.42	-90.025
1	0	-90.010
10	1	-90.261
20	1.30	-90.588
30	1.47	-91.043
40	1.60	-180
50	1.69	-204.194
60	1.78	-219.78
70	1.85	-229.665
80	1.90	-236.293
90	1.95	-241.006
100	2	-244.524
1000	3	-267.705
10000	4	-269.789

 

Желаемые  ЛАЧХ и ЛФЧХ построены на рисунке 2.3.

Из графиков можно определить, что:

Δφ=90⁰ > Δφ_тр=35⁰

ΔL=270дБ > ΔL_тр=19 дБ

Полученные результаты удовлетворяют  заданным требованиям устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Оценка качества  скорректированной системы аналитическим  методом

Передаточная функция  имеет вид:

 

 

 

Подставим найденное корректирующее устройство в заданную систему, и  смоделируем полученную схему в  MATLAB. На рисунке 3.2 представлен переходный процесс системы.

Рис.3.1. Схема скорректированной САУ

 

 

 

 

 

Рис.3.2. Переходная характеристика САУ

Определяем основные качественные параметры:

1. Процесс является колебательным.  Время перерегулирования составляет 

σ=17% < σ_{max, доп} =25%

2. Уровень установившегося  режима равен X_вых(∞)=1