Анализ и синтез замкнутой линейной системы автоматического регулирования САР

Федеральное агентство  по образованию

 

ГОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Факультет автоматизации  и информационных технологий

 

Кафедра автоматизации производственных процессов

 

 

 

 

 

 

Анализ и  синтез замкнутой линейной системы  автоматического регулирования САР

 

 

Пояснительная записка 

(АПП.000000.067.ПЗ)

 

 

 

 

 

 

Руководитель:

_____________.

     (подпись)

_____________

    (оценка, дата)

 

Разработал:

студент гр.

____________ (подпись)

 

 

 

 

Красноярск 2007г. 

Министерство образования  Российской Федерации

 

Сибирский государственный  технологический университет

 

Факультет автоматизации  и информационных технологий

 

Кафедра автоматизации  производственных процессов

 

Учебная дисциплина: Теория автоматического управления

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

на курсовой проект

 

 

Тема: Анализ и синтез замкнутой линейной системы автоматического регулирования САР.

 

 

 

1. Преобразование структурной схемы и определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы.
2. Исследование системы на устойчивость.
3. Выбор системы и параметров корректирующих устройств с учетом заданных показателей качества переходного процесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент: Руденко А.А.

Дата выдачи: «___»______________2007г.

Срок выполнения: ____________________

Руководитель: Пен В. Р.

 

 

Реферат

 

В данной курсовой работе произведен расчёт линейной АСР на устойчивость.

Для проверки АСР на устойчивость были применены критерии: Гурвица, Михайлова, Найквиста и логарифмический метод.

Расчет выполнен с учетом заданных показателей качества переходного процесса. По результатам расчета был произведен выбор системы и параметров корректирующего устройства.

Пояснительная записка выполнена в текстовом редакторе Word, Excel являющийся приложением Microsoft Office 2003, также был использован пакет MathCAD.

Курсовая работа содержит пояснительную записку из 29 страниц текста, 5 таблиц, 14 рисунков и из 3 литературных источников.

 

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………5

1. Анализ линейной системы автоматического регулирования…………….6
1. Определение передаточных функций системы………………………...6
2. Исследование системы на устойчивость…………………………………...8
1. Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица………8
2. Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова…...9
3. Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста……11
4. Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам…………………………...……………………………..14
5. Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам………………………..17
6. Построение желаемой ЛАЧХ……………………………………………17
7. Построение ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства.18
8. Проверка устойчивости по фазе………………………………………...18
9. Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы….19
10. Передаточная функция корректирующего устройства………………..20
3. Расчет переходного процесса скорректированной системы……………..22
1. Метод трапеций………………………………………………………….22
2. Оценка качества переходного процесса………………………………..26
4. Выбор схемы корректирующего устройства……………………………...28
1. Принципиальная схема корректирующего устройства……………….30
2. Расчет параметров корректирующего устройства…………………….31

Заключение……………………………………………………………………..33

Библиографический список……………………………………………………34

 

 

Введение

 

Синтез Автоматической системы  регулирования осуществляется в  два этапа: частотный метод синтеза корректирующего устройства; расчёт переходного процесса.

При синтезе системы  непрерывного регулирования по отклонению основы её структуры уже заданы. В таком случае характерны два  варианта постановки задачи синтеза.

1). Выбор некоторых  параметров (вероятнее всего передаточного коэффициента разомкнутой системы и постоянных времени корректирующих устройств).

2). Выбор части параметров  и уточнение структуры: выбор  местных обратных связей, выбор  корректирующих устройств.

Чаще всего задача сводится к выбору структуры и параметров корректирующего устройства, т.е. к синтезу корректирующего устройства. Основная задача корректирующего устройства – улучшение точности системы и качества  переходных процессов и наряду с этим решить и более общую задачу – сделать систему устойчивой, если она была без корректирующего устройства неустойчивой, а затем добиться и желаемого качества процесса регулирования. Наиболее распространен  частотный метод синтеза корректирующих устройств с помощью ЛЧХ. Существует методика расчёта последовательного и параллельного корректирующих устройств.

 

Метод определения переходных процессов можно разбить на две  основные группы:

1). Способы решения  дифференциальных уравнений (аналитические, графические, графо-аналитические), из которых наибольшее распространение получил операторный метод, основанный на использовании преобразования Лапласа.

2). Способы, основные  на использовании частотных характеристик  АСР. Наиболее известным является  метод построения кривой переходного  процесса с помощью трапециидальных вещественных частотных характеристик и метод аппроксимации вещественной частотной характеристики отрезками прямых.

 

 

 

1 Анализ линейной системы  автоматического регулирования

 

1.1 Преобразование структурной  схемы и определение передаточных функций системы

 

Исходные данные:

Номер структурной схемы 1.

К1=60, К2=30, К3=1.5, К5=1.5

Т2=0.07, Т3=0.05 Т4=0.092, Т5=0.03

Время регулирования t_p = 1,5 сек.

Перерегулирование δ = 25%

При задающем воздействии.

Возмущающее воздействие  отсутствует.

 

Приведем заданную структурную схему к одноконтурной  с помощью последовательных преобразований.

Рисунок 1 - Исходная схема

Рисунок 2 - Упрощенная схема

Рисунок 3 - Передаточная функция системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Передаточная функция разомкнутой  АСР.

 

 

Передаточная функция замкнутой  АСР.

 

 

 

 

 

 

 

 

Передаточная функция  по ошибке по возмущающего воздействия

;                        

 

.

 

 

 

Характеристическое уравнение замкнутой АСР получается путем выделения знаменателя передаточной функции (3) и приравнивания его к нулю

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 +…+ a_n=0;                

 

=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Исследование  системы на устойчивость.

 

2.1 Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица.

 

Критерий Гурвица относится  к алгебраическим критериям. При его использовании из коэффициентов характеристического уравнения (8) составляют матрицу (главный определитель Гурвица) по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₀ до a_n в порядке возрастания индексов. Затем каждый столбец дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались на 1, а вниз уменьшались. Вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут 0.

Главный определитель Гурвица  для системы n-го порядка:

 

,              (9)

 

где  a₀=0,000114;

a₁=0,00756;

a₂=0,1546;

a₃=4051;

 

Тогда главный определитель Гурвица будет иметь вид:

 

 

 

 

∆= -1.866×10³ <0

 

Выделяя в главном  определителе диагональные миноры, отчеркивая строки и столбцы, как показано в (10), получаем определители Гурвица низшего порядка

           (10)

 

Δ₁=0,00756>0;

 

 

 

 

Δ₂= -0.461< 0;

 

 

 

 

Δ₃= -1.866×10³ <0

 

Система неустойчива, т.к. ∆, ∆₂ и ∆₃ <0

 

Критический коэффициент  находят из уравнения Δ_n-1=0:

 

₌₀

 

 

 

 

0.000114*К – 0,00765*0,1546 = 0

0.000114*К - 0,00118 = 0

0.000114*К = 0,00118

К=0,00118/0.000114

K=10,37

 

Если коэффициент характеристического уравнения системы a₄ = 10.37, то система будет находиться на границе устойчивости.

 

2.2 Исследование системы на устойчивость  по критерию Михайлова.

 

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить  кривую, которую описывает конец вектора D(jω) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до , называемую годографом Михайлова.

Вектор D(jω) получают из характеристического полинома замкнутой системы (8) при подстановке p= jω:

 

                          D(jω)=a₀(jω)ⁿ + a₁(jω)^n-1 +a₂(jω)^n-2 +…+ a_n-1(jω) + a_n,      (11)

 

D(jω)= 0.000114(jω)³+0.00756(jω)²+0,1546jω +4051=

= -0.000114(jω)³-0,00756(jω)²+ 0,1546jω +4051.

 

Выражение (11) можно представить в виде:

D(jω)=X(ω) +jY(ω),            (12)

 

где X(ω)  и Y(ω), - вещественная и мнимая части D(jω) соответственно:

 

X(ω) = 4051-0,00756ω²

Y(ω) = 0,1546ω-0,000114ω³.

 

Задаем значения ω от 0 до , вычисляем X(ω) и Y(ω) . Результат записываем в таблицу 1.

 

Таблица 1. Координаты годографа Михайлова

ω	0	0,1	1	2	3	4	5	10	20	30	50
X(ω)	4051	4051	4051	4051	4051	4051	4051	4050	4048	4044	4032
Y(ω)	0	154,6	0.154	0.308	0.461	0.611	0.759	1.432	2.18	1.56	-6.52

 

По данным таблицы 1 строим годограф (кривую Михайлова).

Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. Если это условие не выполняется, система не устойчива. Если годограф проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости.

 

Рисунок 3 – Годограф Михайлова

 

В данном случае годограф Михайлова не обходит в положительном направлении последовательно 4 необходимых квадрата, поэтому система является неустойчивой.

 

 

2.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста.

 

Критерий Найквиста  базируется на частотные характеристиках  разомкнутой цепи система автоматического  регулирования и даёт правила, согласно которым по виду АФХ разомкнутой  системы можно судить об устойчивости системы.

Характеристический полином первого звена:

 

Вещественный корень:

.

Характеристический полином второго звена:

 

имеет два комплексных  корня:

.

Характеристический полином третего звена:

 

Вещественный корень:

Разомкнутая система  неустойчивая. Характеристический полином  такой системы имеет корни  с положительной вещественной частью, остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

 

Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР.

 

Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР.

 

 

Определим частотную передаточную функцию всей системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделили действительную и мнимую части:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2 – Расчет АФЧХ разомкнутой системы.

w	-100	-90	-80	-70	-60	-50	-40	-30
U	-2,0026	-2,00395	-2,00627	-2,01058	-2,01927	-2,03887	-2,09036	-2,25873
V	-0,0141	-0,01921	-0,0271	-0,03991	-0,06209	-0,10378	-0,19094	-0,40051

 

 

Рисунок 5 – АФЧХ разомкнутой  системы.

Вывод: Система не устойчива, дуга охватывает точку с координатами -1,j0

 

2.4 Определение устойчивости по  логарифмическим частотным характеристикам

 

Для определения устойчивости замкнутой системы по логарифмическим  частотным характеристикам разомкнутой  системы необходимо выполнить следующие операции:

 

1. Представить структурную схему разомкнутой системы.
2. Записать передаточную функцию разомкнутой системы.
3. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ в соответствии с алгоритмами для построения этих характеристик. Строим логарифмические характеристики звеньев, а затем их геометрически складывают. Частоту w_i , при которой пересекаются отрезки прямых (асимптоты), называют сопрягающей.
4. По ЛАЧХ и ЛФЧХ выяснить устойчивость замкнутой АСР. Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180⁰ при положительных значениях ЛАЧХ было чётным.

 

 

Определили передаточную функцию  разомкнутой системы:

 

 

Найдем коэффициент  демпфирования для звена  по формуле

 

 

Подставив численные  значения, получим . Заметим, что , следовательно, звено апериодическое второго порядка. Следовательно, это звено можно представить как последовательное соединение двух инерционных звеньев.

 

Применив формулу для нахождения частот, получим

 

 

Подставив, численные значения, найдем .

 

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

 

Для апериодического  звена  и ЛФЧХ вычисляется по формуле:

 

 

 

Для апериодического звена второго порядка ЛФЧХ при

 

 

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

 

 

Таблица 3 – Расчет фазовой  частотной характеристики

Частота, w	Звено 1		Звено 2		Звено 3
	wT		wT		wT
0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-180,00	-180,00
5	2,50	-68,20	0,33	-18,00	1,30	-98,36	-184,56
10	5,00	-78,69	0,65	-33,02	2,60	-121,49	-233,20
15	7,50	-82,41	0,98	-44,27	3,90	-135,21	-261,89
20	10,00	-84,29	1,30	-52,43	5,20	-144,15	-280,88
25	12,50	-85,43	1,63	-58,39	6,50	-150,31	-294,13
30	15,00	-86,19	1,95	-62,85	7,80	-154,75	-303,79
35	17,50	-86,73	2,28	-66,27	9,11	-158,08	-311,08
40	20,00	-87,14	2,60	-68,96	10,41	-160,65	-316,75
45	22,50	-87,46	2,93	-71,13	11,71	-162,70	-321,28
50	25,00	-87,71	3,25	-72,90	13,01	-164,36	-324,97
55	27,50	-87,92	3,58	-74,37	14,31	-165,74	-328,03
60	30,00	-88,09	3,90	-75,62	15,61	-166,89	-330,60
65	32,50	-88,24	4,23	-76,68	16,91	-167,88	-332,80
70	35,00	-88,36	4,55	-77,60	18,21	-168,72	-334,69
75	37,50	-88,47	4,88	-78,41	19,51	-169,46	-336,34
80	40,00	-88,57	5,20	-79,11	20,81	-170,11	-337,79
85	42,50	-88,65	5,53	-79,74	22,11	-170,68	-339,08
90	45,00	-88,73	5,85	-80,30	23,41	-171,20	-340,22
95	47,50	-88,79	6,18	-80,80	24,71	-171,65	-341,25
100	50,00	-88,85	6,50	-81,25	26,02	-172,07	-342,17

 

Вывод: ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ, следовательно, замкнутая система не устойчива.

 

Рисунок 6 – Логарифмическая ЛАЧХ характеристика разомкнутой системы.

 

Рисунок 7 – Логарифмическая  ЛФЧХ характеристика разомкнутой системы.

 

2.5 Синтез линейной автоматической  системы регулирования по логарифмическим  частотным характеристикам.

 

Синтез АСР есть выбор ее структуры и параметров такими, чтобы удовлетворялись определенные заданные требования к качеству регулирования. Если система не обеспечивает заданное качество регулирования, а тем более неустойчива, то необходимо ввести дополнительные специальные звенья, корректирующие переходный процесс, называемые корректирующими устройствами.

 

Сущность метода заключается в  следующем. Сначала строят асимптотическую  ЛАЧХ исходной системы  . Затем на том же рисунке строят желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы .

Разность:

 

 

Есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести в систему, чтобы она имела необходимые  свойства.

 

 

 

2.6 Построение желаемой  ЛАЧХ.

 

 

Желаемую ЛАЧХ условно  разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная часть определяет статическую точность системы - точность в установившемся режиме. Требования к системе в установившемся режиме не оговариваются, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы .

Высокочастотная часть  желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть , поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

Среднечастотная асимптота  определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза , наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

Частоту среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе  выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования . в соответствии с номограммами.

 

Выбираем  , , .

Выбираем частоту среза согласно формуле

 

 

Подставляя численные значения, получим 

Отмечают ее на оси частот на том  же рисунке, где изображена ЛАЧХ исходной системы. Через точку проведем прямую линию с наклоном .

На оси ординат отметим точки  с координатами , через которые проведем пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией .

Частоты, которым соответствуют  точки пересечения прямых определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (это и ).

Отметим, что  ,

Среднечастотную асимптоту  желаемой ЛАЧХ сопрягаем с низкочастотной. Сопряжение осуществляем асимптотами с наклоном –40 дБ/дек для того чтобы характеристика возможно меньше отличалась от и корректирующее устройство было возможно более простым.

Сопряжение среднечастотной  асимптоты с высокочастотной  осуществляется асимптотой с наклоном –40 дБ/дек.

 

 

 

2.7 Построение ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства

Построим ЛАЧХ последовательного  корректирующего устройства путем графического вычитания ЛАЧХ исходной системы из желаемой ЛАЧХ

 

 

 

 

2.8 Проверка запаса устойчивости по фазе скорректированной системы.

 

Проверяем запас устойчивости по фазе для желаемой ЛАЧХ.

Для этого сначала  получим выражение для фазовой  частотной характеристики ФЧХ системы по виду желаемой ЛАЧХ.

Фиксируем частоты излома желаемой ЛАЧХ:

, , ,

Постоянные времени  найдем по формулам

 

 

Расчет фазовой частотной характеристики системы:

 

Запас устойчивости:

Условие запаса устойчивости не выполняется для частот и , т.к.

 

 

Проверим выполнение данного условия на частоте среза .

Подставив численные  значения, получим  , условие выполняется.

Вывод: данный метод использует приближённые значения, то данные запасы устойчивости принимаем и вопрос о коррекции, желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.

 

 

 

2.9 Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы

 

Звенья, которые входят в скорректированную систему, определяем, как и при составлении фазовой  частотной характеристики, по изменению наклона ЛАЧХ.

 

 

2.10 Передаточная функция корректирующего устройства.

 

По ЛАЧХ последовательного  корректирующего устройства составляем его передаточную функцию таким  же способом, как для разомкнутой системы.

Передаточная функция  последовательного корректирующего  устройства имеет вид

 

 

Исходя из ранее найденных  значений отметим частоты излома ЛАЧХ корректирующего устройства:

 

 

Для частот излома найдем соответствующие им постоянные времени корректирующего устройства по формуле

 

 

Подставив численные  значения, получим

 

 

По найденным значениям  получим окончательный вид передаточной функции корректирующего устройства

 

 

Рисунок 8 - Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства.

 

 

3 Расчет переходного процесса  в скорректированной системе.

 

 

В данном разделе проверяется  качество скорректированной системы, поскольку построение желаемой ЛАЧХ основано на определенных допущениях. С этой целью строится переходная характеристика замкнутой системы, и определяются показатели ее качества. Расчет выполнен частотным методом. Частотный метод, использующий вещественные частотные характеристики замкнутой системы, называют методом трапеций.

 

 

3.1 Метод трапеций.

 

 

Этот метод основан  на уравнении, связывающем переходный процесс устойчивой САР, с ее вещественной частотной характеристикой, полученной при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.

Для этого необходимо построить вещественную частотную характеристику замкнутой системы.

 

 

 

Рисунок 8 – Вещественная частотная характеристика замкнутой  системы

 

Рассчитываем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.

 

 

Рисунок 9 – Разбиение на трапеции.

 

 

 

 

Определим параметры  трапеций.