Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі

Міністерство  освіти, науки, молоді та спорту України

Національний  університет водного господарства та природокористування

Кафедра автоматизації та комп’ютерно-інтегрованих технологій

 

 

 

 

 

 

Курсова робота

На тему:

"Аналіз типової  системи автоматичного регулювання  температури в печі"

з курсу:

"Теорія автоматичного  управління лінійними системами"

 

 

 

 

Виконала:

Студентка III курсу

ФПМ і КІС

 

 

Керівник:

 

 

Рівне-2012

 

Зміст:

1. Принцип дії системи                                                                                4

2. Визначення передаточних функцій елементів системи                                 6

3.Структурна схема, передаточні функції і рівняння динаміки та

статики системи                                                                                                9

4. Аналіз стійкості системи та визначення критичного значення коефіцієнта             передачі регулятора                                                                                              12

5. Побудова годографа  амплітудно-фазової частотної характеристики  розімкнутої системи і визначення  запасів стійкості за амплітудою  і фазою         14

6. Розрахунок і побудова перехідної характеристики САР за каналом задаючої дій при нульових початкових умовах                                                    20

7. Побудова перехідної  характеристики системи за каналом  задаючої дії за допомогою  комп’ютерної програми SIAM                                                         24

8. Оцінка якості регулювання                                                                        29

9. Побудова перехідної  характеристики системи за каналом  збурюючої 

дії                                                                                                                     31

10.Розрахунок інтегральної  похибки і  знаходження оптимального  коефіцієнта підсилення регулятора                                                                    34

11. Зробити висновок  про статичні та динамічні  властивості досліджуваної системи  і, при необхідності, провести  її коригування                                         39

Висновок                                                                                                     44

Список використаної літератури                                                                45

 

 

1.  Принцип дії cистеми

Витрата палива в печі прямопропорційно залежить від положення клапана. Згідно цього клапан можна представити  пропорційною ланкою. Зміна положення клапана проводиться двигуном через редуктор. Отже, вхідною величною є переміщення клапана, а вихідною - витрата палива.

Об’єкт регулювання представляє  собою піч, у якій подане паливо спалюється, й утворюється пропорційна масі палива кількість теплоти, що спричиняє підвищення температури в печі. Отримана теплота розсіюється у навколишнє середовище, а також йде на нагрівання речовин у печі, що забезпечує виконання технологічного процесу. Усталений режим характеризується рівністю теплоти утвореної в печі внаслідок згоряння палива та теплоти, що розсіялася у середовище. Отже, вхідною величиною є витрата палива, а вихідною - температура в печі.

Електричний вимірювальний  міст має в одному плечі мідний/платиновий терморезистор (термометр опору), який змінює свій опір залежно від температури Rt=R0 (1+αt). Опіром R1 можна змінювати бажану температуру в печі, оскільки рівновага моста, а значить і припинення регулювання настане, якщо добутки опорів у протилежних плечах будуть рівні. Якщо температура в печі (вхідна величина) рівна заданій , то опори терморезистора і потенціометра-задавача рівні, міст збалансований (напруга на вимірювальній діагоналі моста прямує до 0). Зміна температури призводить до зміни опору терморезистора, а отже розбалансу моста і появі напруги на вимірювальній діагоналі - вихідної величини, полярність якої залежить від знаку різниці (Rt-R1).

Підсилювач збільшує вхідну величину (напругу на діагоналі моста  ) в kп разів, формуючи вихідний сигнал .

Напруга Uk, що подається на якір двигуна постійного струму з незалежним збудженням Uзб, приводить в обертання вал, з’єднаний через редуктор, який зменшує кутову швидкість та збільшує обертовий момент, з клапаном. Залежно від полярності напруги Uk буде змінюватися напрям обертання вала двигуна і переміщення клапана, збільшуючи або зменшуючи подачу палива. Таким чином вхідною величною системи "двигун-редуктор" є напруга з виходу підсилювача  , а вихідною - переміщення клапана.

Поведінка системи  при зміні задаючої і збурюючої величини

Зміна задаючої величини R1 призводить до появи напруги , яка приводиться підсилювачем до уніфікованої напруги , що подається на двигун, який через редуктор переміщує клапан. Змінюючи таким чином витрату, ми змінюємо температуру в печі до заданого значення.

Збурюючою величиною може бути зміна температури навколишнього  середовища, подача у піч нової, холодної речовини, яку потрібно нагріти/розплавити , що призводить до збільшення поглинання тепла, та ін. Отже, збурення призводить до порушення теплової рівноваги й зміни температури в печі. Ця зміна температури приводить до зміни опору терморезистора й розбалансу мосту, який усувається шляхом, аналогічним до випадку зміни задаючої величини.

Рис. 2. Функціональна схема  системи автоматичного регулювання  температури в печі.

 

Дана система автоматичного  регулювання є звичайною аналоговою лінійною замкнутою стабілізуючою  САР з повною початковою інформацією.

 

2. Визначення передаточних  функцій елементів  системи

У випадку, коли задано диференціальне рівняння елемента системи, його передаточна  функція визначається на основі перетворення Лапласа. Для цього вихідне диференціальне рівняння записують у операторній  формі та знаходять відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної  величини при нульових початкових умовах. Якщо елемент системи має дві  вхідні величини необхідно визначати  дві передаточні функції за кожним із входів. [5, c.6]

Нехай диференціальне рівняння об’єкта керування має вигляд:

  ,                                             /2.1/

де  - вихідна величина; i - регулююча і збурююча дії. Знак мінус показує, що зі зростанням навантаження на об’єкт, регульована величина зменшується.

Покладемо, що вихідна величина має дві складові:

                                                       /2.2/

Тоді рівняння /2.1/ розбивається на два рівняння. В операторній формі вони матимуть вигляд:

                                              /2.3/

                                              /2.4/

де  - зображення відповідних величин за Лапласом.

Рівнянням /2.3/ і /2.4/ відповідають передаточні функції об’єкта  за каналом регулюючої величини:

                                   /2.5/

Та за каналом збурення:

                                /2.6/

Структурна схема об’єкта приведена на рис.3:

Рис.3. Структурна схема об’єкта керування.

 

Рівняння електричного моста  має вигляд:

                                                       /2.7/

де  - вихідна величина, напруга на вимірювальній діагоналі моста;

- вхідна величина, відхилення  температури в печі від заданого  значення.

Тоді рівняння /2.7/ в операторній  формі матиме вигляд:

                                                     /2.8/

Передаточна функція моста:

.                                     /2.9/

Рівняння, що описує роботу підсилювача, має вигляд:

,                                                    /2.10/

де  - вихідна величина,

- вхідна величина,

kп - коефіцієнт підсилення.

В операторній формі рівняння /2.10/ запишеться:

                                         /2.11/

Передаточна функція підсилювача:

                                      /2.12/

Рівняння, що описує роботу двигуна  з редуктором:

,                  /2.13/

де  - вхідна величина,

- вихідна величина.

Операторна форма рівняння /2.13/:

           /2.14/

.

Передаточна функція двигуна  з редуктором матиме вигляд:

                 /2.15/

 

3. Структурна схема, передаточні функції і рівняння динаміки та статики системи

Cтруктурна схема системи  автоматичного керування, отримана на основі функціональної схеми(рис.2) та передаточних функцій елементів системи, зображена на рис. 4.


Рис. 4. Структурна схема системи автоматичного  регулювання температури в печі.

 

Для знаходження передаточних функцій системи за каналами задаючої і збурюючої дії користуються правилами еквівалентних перетворень  структурних схем. Спочатку, знаходять  передаточну функцію розімкнутої  системи. Так, як ланки ввімкнені  послідовно, то передаточна функція  розімкнутої системи знаходиться  за формулою:

                       /3.1/

де  і - відповідно предаточні функції регулятора і об’єкта регулювання.

 

           /3.2/

Передаточна функція замкнутої  системи за каналом задаючої величини при одиничному зворотному звязку знаходиться  через передаточну функцію розімкнутої  системи за формулою [3, c.58]:

                                     /3.3/

Передаточна функція системи  за каналом збурення:

 

          /3.4/

де  - передаточна функція каналу збурення об’єкта.

Диференціальні рівняння руху системи знаходимо, виходячи із означення передаточної функції  системи:

;

;

Диференціальне рівняння руху системи за каналом завдання-вихід  матиме вигляд:

            /3.5/

А відповідне рівняння статики:

                                            /3.6/

З виразу /3.4/ знаходимо операторну форму диференційного рівняння, яке  описує рух системи за каналом  збурення-вихід:

 

Виконавши обернене перетворення Лапласа, одержимо:

      /3.7/

Рівняння статики системи  за каналом збурення:

                                                     /3.8/

 

 

4. Аналіз стійкості системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора

При розробці і настроюванні систем автоматичного керування  важливо встановити вплив окремих  параметрів на їх стійкість. Для визначення областей допустимих значень параметрів можуть бути використані критерії стійкості  та загальний метод D-розбиття.

Зокрема, критичне значення параметру (коефіцієнта передачі чи постійної часу ) при якому система знаходиться на межі області стійкості можна визначити за критерієм Гурвіца.

Запишемо характеристичне  рівняння системи, передаточна функція  якої /3.3/:

                                 /4.1/

Складемо визначник Гурвіца  для даного рівняння:

                                /4.2/

Знайдемо діагональні мінори:

;

Головний визначник Гурвіца  >0 і його мінори >0, >0, тому система з даними параметрами стійка.

Визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора:

Критичне значення коефіцієнта  передачі підсилювача знайдемо, прийнявши  його за невідомий у виразі /3.2/ та прирівнявши до нуля визначник Гурвіца:

        /4.3/

Характеристичне рівняння замкнутої  системи:

                      /4.4/

Складемо мінор другого  порядку визначника Гурвіца, оскільки він однозначно залежить від значення визначника Гурвіца ( ):

   /4.5/

При критичному коефіцієнті  передачі ;

                                                   /4.6/

Отже, при   система перебуватиме на межі стійкості.

 

 

5. Побудова годографа амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи і визначення запасу стійкості

Для побудови годографа АФЧХ спочатку запишемо передаточну функцію  розімкнутої системи /3.2/:

                          /5.1/

Виконавши заміну p=jω, отримаємо:

Для побудови годографа в  декартовій системі координат виділимо дійсну та уявну частини W (jw) =P (w) +jQ (w):

                                 /5.2/

                                /5.3/

 

Таблиця значень для побудови годографа АФЧХ:

Таблиця 2

ω

P(ω)

Q(ω)

0

5.928

0

0,1

5.947047

-1,55614

0,2

5.997669

-3,2412

0,3

6.056617

-5,19229

0,4

6.071863

-7,55023

0,5

5.941576

-10,4144

0,6

5.495504

-13,7037

0,7

4.530912

-16,9004

0,8

2.989585

-18,9332

0,9

1.180166

-18,8096

1

-0.36704

-16,669

1,1

-1.35395

-13,6282

1,2

-1.82986

-10,686

1,3

-1.97618

-8,26568

1,4

-1.94738

-6,40824

1,5

-1.83831

-5,01715

1,6

-1,69951

-3,97811

1,7

-1.55584

-3,19623

1,8

-1.41864

-2,60088

1,9

-1.29247

-2,1415

2

-1.1786

-1,78227

2,1

-1.07677

-1,49771

2,2

-0.98608

-1,2696

2,3

-0.90538

-1,08469

2,4

-0.83351

-0,93326

2,5

-0.7694

-0,8081

2,6

-0.71208

-0,70376

2,7

-0.66069

-0,61609

2,8

-0.61448

-0,5419

2,9

-0.57282

-0,4787

3

-0.53515

-0,42454

3,1

-0,50099

-0,37785

3,2

-0.46993

-0,33741

3,3

-0.44161

-0,3022

3,4

-0,41573

-0,27141

3,5

-0.39201

-0,24438

3,6

-0.37024

-0,22055

3,7

-0.35019

-0,19946

3,8

-0.33171

-0,18075

3,9

-0.31462

-0,16408

4

-0.2988

-0,14919

4,1

-0.28412

-0,13585

4,2

-0.27047

-0,12387

4,3

-0.25777

-0,11309

4,4

-0.24592

-0,10336

4,5

-0.23486

-0,09455

4,6

-0.22451

-0,08657

4,7

-0.21482

-0,07932

4,8

-0.20572

-0,07272

4,9

-0.19718

-0,06671

5

-0.18915

-0,06122

5,1

-0.18159

-0,05619

5,2

-0.17446

-0,05159

5,3

-0.16773

-0,04737

5,4

-0.16138

-0,04349

5,5

-0.15537

-0,03992

5,6

-0.14967

-0,03664

5,7

-0.14428

-0,0336

5,8

-0.13917

-0,0308

5,9

-0.13431

-0,02822

6

-0.12969

-0,02582

6,1

-0.12531

-0,02361

6,2

-0.12113

-0,02155

6,3

-0.11715

-0,01964

6,4

-0.11336

-0,01787

6,5

-0.10974

-0,01623

50

-0.00051

0,000896

100

  

0,000143


 

Рис. 5. Годограф амплітудно-фазочастотної характеристики розімкнутої САР.

 

Запаси стійкості визначимо, виходячи з критерію стійкості Найквіста.  Для визначення запасу стійкості  за амплітудою знайдемо частоту, яка  відповідає точці перетину годографа  АФЧХ з від'ємною дійсною піввіссю (з умови Q ( ) =0):

                               /5.4/

Корені рівняння ω=0; 8.278; - 8.278.

Задовольняє умови лише корінь ω=8.278.

Для даної частоти P(8.278) =-0,0676.

Запас стійкості  по амплітуді Азап= 1-0,0676=0.9324                                  /5.5/

Для визначення запасу стійкості  за фазою знайдемо критичну частоту  ωкр, при якій А (ω) =1:

;

;

;

;

;

Коренями рівняння є:

  - 1.0e+002 ×

 

  -0.0000 + 1.3436i

  -0.0000 - 1.3436i

   0.0000 + 0.0686i

   0.0000 - 0.0686i

   0.0230         

  -0.0222         

  -0.0014 + 0.0177i

  -0.0014 - 0.0177i

   0.0057 + 0.0100i

   0.0057 - 0.0100i

  -0.0093         

Серед коренів даного рівняння нас задовольняє лише дійсний  додатній корінь, тому ωкр=  2.3 , а отже:

P (ωкр) =Р (2.3) =-0,90538;

Q(ωкр)=Q(2.3)= -1,08469

Тоді запас стійкості  по фазі становить:

             /5.6/


Рис.6. Графічна ілюстрація запасів стійкості.

6. Розрахувати та побудувати перехідну характеристику системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії при нульових початкових умовах

 

Аналітичні методи побудови перехідних характеристик ґрунтуються  на розв’язуванні диференціальних  рівнянь системи. Найбільш поширеним  методом є операторний метод  з використанням теореми розкладання.

Зображення вихідної регульованої величини

Оскільки перехідна характеристика є реакцією системи на одиничний  ступінчастий вхідний сигнал, зображення за Лапласом якого  ,

То:

           /6.1/

Отже, зображення перехідної функції має вигляд: .

Знайдемо корені характеристичного  рівняння замкненої системи :

D(p)= 0:

;                            /6.2/

p1=-25.2743;

p2=-1.2120 + 2.4047i;

p3=-1.2120 - 2.4047i .

У загальному випадку, згідно теореми розкладу, вираз для перехідної характеристики має вигляд :

                            /6.3/

Враховуючи, що при підстановці  пари комплексних коренів у вираз /6.3/ значення дробів матиме вигляд:

                                         /6.4/

В результаті сума доданків, що відповідають парі комплексно-спряжених  коренів може бути зведена, з врахуванням  формули Ейлера, до одного виразу:

          /6.5/

Тоді вираз перехідної функції матиме вигляд:

                    /6.6/

де  - дійсний корінь характеристичного рівняння /6.2/; - похідна від полінома знаменника передаточної функції; і - відповідно дійсна та уявної частини пари комплексних чисел , , α і ω - відповідно дійсна та уявна частини пари комплексно-спряжених коренів p2, p3.

M (p) =5.928;

D (p) = ;

;

Підрахуємо:

                                         /6.7/

 

;                        /6.8/

 

Просумувавши окремі доданки  отримаємо вираз для перехідної функції:

 

Маючи вираз для перехідної функції системи будуємо перехідну  характеристику: 

Таблиця 3

t

h(t)розрах

0

0,004359539

0,202

0,075976053

0,505

0,421979578

0,808

0,781608724

1

0,933171995

1,212

1,016576219

1,515

1,015034113

1,717

0,970176475

2,02

0,891760436

2,32

0,838532651

2,52

0,822973364

2,727

0,820913607

3,03

0,832912874

3,23

0,843796511

3,53

0,856873173

3,737

0,861738093

4,04

0,863178953

4,24

0,861747874

4,54

0,858466577

4,747

0,856480479

5,05

0,854802231

5,25

0,854498002

5,55

0,854827264

5,757

0,855290226

6,06

0,855912238

6,26

0,856171284

6,56

0,856308466

6,7676

0,85627401

7,07

0,856142583

7,27

0,856053646

7,57

0,855964157

7,78

0,855939216

8,08

0,855944159


 

Рис.7. Перехідна характеристика системи за каналом завдання

 

7.Побудова перехідної характеристики системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії за допомогою комп’ютерної програми SIAM

 

Рисунок 8. Схема моделювання перехідних процесів системи автоматичного регулювання температури в печі у програмі SIAM.

 

 Для моделювання перехідних  процесів у системі автоматичного  регулювання була побудована схема (рис. 8), у якій задані наступні параметри:

K(3)=0,6, K(4)=8, К(5)=0.325, K(6)=1,6, Т(6)=2,1.

Перехід від форми запису передаточної функції коливної ланки  у виді

 до

здійснюють за формулами:

.

Для проведення моделювання  виберемо метод моделювання та встановимо наступні параметри :

Метод моделювання: Фельберга.

Похибка: 0,01.

Початкове значення часу: 0.

Кінцеве значення часу: 10.

Результати моделювання в СИАМ показані на рис. 9.

 

Рисунок 9. Перехідна характеристика, отримана в результаті моделювання в програмі SIAM.

 

Іншою комп’ютерною програмою, що дозволяє змоделювати перехідний процес в системі автоматичного  регулювання, є система MATLAB, а саме пакет розширення Simulink.

Складена в Simulink модель показана на рис. 10:

Рис. 10. Схема моделі системи  за каналом завдання у програмі Simulink.

 

В результаті моделювання  отримали перехідну характеристику, зображену на рис. 11.:

Рис. 11. Перехідна  характеристика за каналом завдання-вихід, побудована в Simulink.

 

Порівнявши отримані за допомогою  моделювання результати із розрахованими  знайдемо відносну похибку.

 

 

Таблиця 4

t

h(t)розрах

h(t)siam

δ,%

0

0,004359539

0

0

0,202

0,075976053

0,074196

2,342651

0,505

0,421979578

0,422561

-0,13778

0,808

0,781608724

0,782822

-0,15523

1

0,933171995

0,940084

-0,7407

1,212

1,016576219

1,01723

-0,06431

1,515

1,015034113

1,01508

-0,00452

1,717

0,970176475

0,969918

0,026642

2,02

0,891760436

0,891262

0,055893

2,32

0,838532651

0,837639

0,106573

2,52

0,822973364

0,82226

0,086681

2,727

0,820913607

0,820448

0,056718

3,03

0,832912874

0,832522

0,046929

3,23

0,843796511

0,843548

0,029452

3,53

0,856873173

0,856712

0,018809

3,737

0,861738093

0,861425

0,036333

4,04

0,863178953

0,862864

0,036488

4,24

0,861747874

0,861407

0,039556

4,54

0,858466577

0,858081

0,044915

4,747

0,856480479

0,856142

0,03952

5,05

0,854802231

0,854456

0,040504

5,25

0,854498002

0,85415

0,040726

5,55

0,854827264

0,854491

0,039337

5,757

0,855290226

0,854944

0,040481

6,06

0,855912238

0,855568

0,040219

6,26

0,856171284

0,855831

0,039745

6,56

0,856308466

0,855968

0,03976

6,7676

0,85627401

0,855934

0,039708

7,07

0,856142583

0,855802

0,039781

7,27

0,856053646

0,855712

0,039909

7,57

0,855964157

0,855621

0,04009

7,78

0,855939216

0,855598

0,039864

8,08

0,855944159

0,855602

0,039974


 

Відносна похибка не перевищує 2,34%, що свідчить про правильність обрахунку  перехідної характеристики за теоремою розкладу і за допомогою програми SIAM.

 

 

8. Оцінка якості регулювання

Якість регулювання оцінюють за допомогою прямих показників якості, котрі визначаються за побудованою  перехідною характеристикою досліджуваної  системи.


Рисунок 12. Графічна ілюстрація прямих показників якості регулювання

 

Прямі показники  якості системи:

tр =2.9 с - час регулювання;

tпу=0,975 с - час першого досягнення рівня усталеного режиму;

tм=1.45 с - час першого максимуму;

hуст= 0,86 - усталене значення вихідної регульованої величини;

 δуст=1- 0,86=0,14 - усталена похибка;

hmax= 1,05 - максимальне значення регульованої величини;

- перерегулювання;

T0=4-1,45=2.55 c - період коливань;

A1=0,23;

A2=0,005;

 – коливальність;

Кількість коливань на протязі  часу регулювання: N=1.

 

9. Шляхом моделювання процесів на ЕОМ побудувати перехідну характеристику системи за каналом збурюючої дії

При побудові перехідної характеристики за каналом збурюючої дії приймають  задаючий сигнал =0. Тоді структурну схему системи автоматичного регулювання температури в печі можна предаставити як:

Рисунок 13. Структурна схема системи автоматичного регулювання температури в печі за каналом збурюючої дії.

 

Для побудови перехідної характеристики за каналом збурення-вихід у Simulink побудована наступна модель:

Рисунок 14. Схема моделі системи за каналом збурення-вихід у програмі Simulink

 

Перехідна характеристика моделі:

Рисунок 15. Перехідна характеристика системи за каналом збурюючої дії 

10. Розрахунок інтегральної квадратичної оцінки якості системи та визначення оптимального коефіцієнта підсилення регулятора

Запишемо  передаточну функцію замкнутої  системи:

                                  /10.1/

Знайдемо зображення динамічної похибки замкнутої системи:

                                                                                       

Випишемо коефіцієнти  чисельника і знаменника виразу динамічної похибки:

 

 

 

 

 

 

 

За допомогою знайдених  коефіцієнтів обчислимо квадратичну  оцінку якості:

                          /10.2/

Знайдемо  оптимальне значення коефіцієнта підсилення kп, прийнявши його за невідомий. Тоді передаточна функція замкнутої системи матиме вигляд:

Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі 📙 Курсовая → 🆔 26240

Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі 📙 Курсовая → 🆔 26240

Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі