Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Деякі методи доведення нерівностей в курсі математики основної школи та на факультативних заняттях

Чернігівський національний педагогічний університет ім. Т. Г. Шевченка

Кафедра педагогіки, психології та

методик навчання фізики й математики

Курсова робота

з методики навчання математики

студентки 43 групи

фізико-математичного факультету

Коптель Дар’ї Миколаївни

Науковий керівник –

к. п. н., доцент

Соколенко Лілія Олександрівна

Чернігів 2012

Зміст

Вступ……………………………………………………………………..………..3

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження………………………………...…….5

Стан проблеми дослідження в науковій, навчально-методичній літературі…………………………………………………………………...…..5

Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів…………………………………………………………………..……5
Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників…..6

Теоретичні відомості про нерівності……………………………………...…7

Числові нерівності……………………………………………………..…...7
Нерівності, що містять змінну………………………………………..….10

Основні методи доведення нерівностей……………………………..…….11

Доведення нерівностей з допомогою означення………………..……....12
Доведення від супротивного……………………………………..……....12
Метод математичної індукції…………………………………………….13
Метод зведення до очевидної нерівності………………………………..14
Метод використання класичної нерівності…………………………...…15

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях………………………………………………………………………..…17

2.1 Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи…………………………………………………………………..17

2.2 Методика навчання учнів доведення нерівностей на факультативних заняттях……………………………………………………………………..……24

Висновки…………………………………………………………………………27

Список використаної літератури…………………………………………….….28

Вступ

Серед наук, які мають вирішальний вплив на розвиток технічного прогресу, безперечно, важливе місце належить математиці. Ця наука має чисельний арсенал засобів, які дають можливість розв’язувати різноманітні задачі. Одним з них є нерівності.

Історія виникнення нерівностей бере свій початок із сивої давнини. По мірі переходу людей на більш високий рівень інтелектуального розвитку, з’являється необхідність порівнювати множини, наприклад, поелементно співставляючи їх чисельність. З’явилась вона переважно в процесі спілкування людей і виконанні ними операцій обміну. Не рівна кількість предметів у множинах вимагала виробляти поняття «більше», «менше», «рівно». Цими поняттями користувалися уже стародавні греки. Сучасні знаки нерівностей з’явилися лише в XVII – XVIII ст.

Теорія нерівностей відіграє велику роль у математиці. Останнім часом з’явились окремі галузі сучасної математики, в яких нерівностям відводиться центральне місце. Це лінійне і нелінійне програмування, теорія ігор, дослідження операцій тощо.

У шкільному курсі математики нерівності застосовують при вивченні похідної, інтеграла, елементів теорії рядів. За допомогою нерівностей знаходять найбільше та найменше значення функцій, розв’язують задачі на доведення нерівностей.

Задачі на доведення нерівностей дають можливість закріпити велике коло теоретичних питань, що вивчаються у шкільному курсі математики, по-новому висвітлити відомі факти. У даній роботі будуть розглянуті деякі методи доведення нерівностей, які часто використовуються при доведенні нерівностей і, нажаль, недостатньо вивчаються в школі. Розглянуті методи – це лише незначна частина великого різномаїття методів доведення нерівностей.

Об’єкт дослідження курсової роботи – курс алгебри основної школи.

Предметом дослідження є нерівності та методи їх доведення.

Метою даної курсової роботи є – на основі опрацьованої наукової та навчально-методичної літератури систематизувати теоретичні відомості про нерівності та методи їх доведення, створити систему задач на доведення нерівностей, призначену для опрацювання на уроках алгебри основної школи та на факультативних заняттях, розробити методику навчання учнів доводити нерівності з даної системи.

Завдання курсової роботи:

Дослідити стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;
З’ясувати теоретичні основи дослідження (загальні відомості про нерівності, суть методів доведення нерівностей);
Підібрати систему задач на доведення поглибленого курсу нерівностей для алгебри основної школи;
Розробити методику навчання учнів їх доведення.

Курсова робота складається з двох розділів. Перший розділ курсової роботи присвячений загальним відомостям про нерівності та деяким методам їх доведення, з якими необхідно познайомити учнів. У другому розділі наведено методику навчання учнів доведенню нерівностей різними методами.

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

Стан проблеми дослідження в курсовій, навчально-методичній літературі

Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів

За чинною програмою з математики [23] тему «Нерівності» вивчають у 9 класі. Орієнтовано на її вивчення відводиться 16 годин.

К-ть

год

Зміст навчального матеріалу

Тема 1. Нерівності

Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей.

Почленне додавання і множення нерівностей.

Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу.

Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією змінною. Розв’язок нерівності.

Числові проміжки. Об’єднання та переріз числових проміжків.

Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Рівносильні нерівності.

Системи лінійних нерівностей з однієї змінною, їх розв’язування.

Учні повинні:

наводити приклади нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною, подвійних нерівностей;
формулювати означення розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей; властивості числових нерівностей;
розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною; системи двох лінійних нерівностей з однією змінною. [23]

Навчання учнів доведенню нерівностей програмою з математики для загальноосвітніх навчальних закладів не передбачено.

У класах з поглибленим вивченням тему «Нерівності» починають вивчати у 8 класі. Окремою темою курсу алгебри 9 класу є тема «Доведення нерівностей». Орієнтовано на її вивчення відводиться 15 годин. [24]

К-ть

год

Зміст навчального матеріалу

Тема 2. Доведення нерівностей

Основні методи доведення нерівностей.

Нерівність Коші для двох чисел та її застосування. Нерівність між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє квадратичне).

[Нерівність Коші-Буняковського].

Метод використання відомих нерівностей.

Учні повинні:

описувати методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності;
доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел;
розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників

Розглянемо вивчення нерівностей в курсі середньої школи за підручниками алгебри Бевз Г. П. [3] та Кравчук В. [14] для 9 класів .

Параграф 1 підручника [14] присвячений вивченню нерівностей. У цьому параграфі розглядаються числові нерівності, доведення нерівностей, властивості числових нерівностей, додавання і множення числових нерівностей.

У підручнику [3] для теми доведення нерівностей виділений цілий параграф. Наведено метод доведення нерівностей на основі означення поняття більше і менше. Також розглядається залежність між середнім арифметичним і геометричним двох чисел, її застосування до доведення нерівностей. Але в обох підручниках дуже мало вправ, в яких необхідно довести нерівності.

У статті [4] розглядається означення нерівності, види нерівностей та методи їх розв’язування. Окремою частиною теми є доведення нерівностей. Розглядаються найпростіші і найважливіші нерівності, такі як нерівності між середнім геометричним, середнім арифметичним і середнім квадратичним. Також доступно розписано про класичні нерівності.

У статті [18] розглядається урок з теми «Доведення нерівностей», на якому діти повинні знати основні методи доведення нерівностей та вміти доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел, а також розв’язувати вправи, в яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

1.2 Теоретичні відомості про нерівності

1.2.1 Числові нерівності

Якщо числа a і b рівні між собою, то . Якщо числа і не рівні між собою, то різниця буде або додатною, або від’ємною.

Якщо різниця додатна, то говорять, що число більше від числа . Записується це так: (1). Якщо різниця від’ємна, то говорять, що число менше від числа . Записується (2).

Наприклад, ; .

Записи (1) та (2) називаються числовими нерівностями, а знаки і , які входять у них, - знаками нерівності. [14]

Поряд з числовими нерівностями в математиці часто доводиться зустрічатися з такими нерівностями, окремі частини яких, виражені буквами, можуть набувати різних числових значень. Наприклад, , .

Допустимими значеннями букв, які входять у нерівність, називаються такі значення цих букв, при яких обидві частини нерівності мають смисл. Існують нерівності, які задовольняють одні допустимі значення, а інші не задовольняють. Наприклад, . Ця нерівність визначена для всіх невід’ємних значень . Проте не кожне із зазначених чисел задовольняє цю нерівність. При , . Оскільки , то задовольняє нерівність . А число її не задовольняє, .

Нерівність, яку задовольняють усі допустимі значення букв, що входять до неї, називається тотожною нерівністю. Прикладом такої нерівності може бути . [4]

Дві нерівності, які мають однакові знаки (обидві знак або обидві знак ), називаються нерівностями однакового смислу. Наприклад, і однакового смислу.

Якщо одна з нерівностей має знак , а друга знак , то такі нерівності називаються нерівностями протилежного смислу. [12]

Основні властивості нерівностей:

Якщо , то це означає, що .
Якщо , то і навпаки, якщо a, то b.

Доведення. Нехай . За означенням це означає, що додатне число. Якщо ми перед ним поставимо знак мінус, то буде від’ємним, тобто , , а це означає, що . Доведено.

Якщо і , то .

Доведення. Нехай і . Це означає, що числа і додатні. Сума двох додатних чисел є число додатне, або . А це означає, що . Доведено.

Якщо до обох частин числової нерівності додати або відняти від обох частин одне й те саме число, то нерівність не зміниться.

Доведення. Нехай . Це означає, що . Але . Тому , а це означає, що . Аналогічно доводиться, що . Доведено.

Наслідок: Будь-який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

Нехай . Якщо , то . Якщо ж , то .
Якщо і , то , тобто при почленному додаванні двох нерівностей однакового смислу дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. З нерівності випливає нерівність , а з нерівності - нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, дістанемо . Доведено.

6.* Властивість 6 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

Якщо і , то .

Доведення. Оскільки , то , отже , тобто . Доведено.

Якщо – додатні числа і , то , тобто при по членному множенні двох нерівностей однакового смислу з додатними членами, дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. Оскільки , то , а з нерівності випливає нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, маємо . Доведено.

8.* Властивість 8 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

Якщо , то при будь-якому натуральному , , тобто нерівність з додатними членами не порушиться, якщо обидві її частини піднести до степеня з одним і тим самим натуральним показником.

Доведення. Доведемо за допомогою методу математичної індукції. При , твердження вірне за умовою. Припустимо, що воно справедливе при . Доведемо, що нерівність справедлива при , нерівність помножимо почленно на нерівність , дістанемо , тобто твердження справедливе при . Отже, . Доведено.

Якщо числа та одного знака і , то .

Доведення. Нехай і – числа однакового знака, тому . Оскільки також і , то . Отже, , а це означає, що або . Доведено.

Якщо – додатні числа і , то .

Доведення. З нерівності випливає, що . Перемноживши почленно нерівності і , дістанемо нерівность . Доведено.

Якщо , то при будь-якому натуральному справджуватиметься нерівність .

Доведення. Припустимо, що справджується нерівність . Тоді за властивістю 9, справджується нерівність , що суперечить умові. Отже, якщо . Доведено. [22]

1.2.2 Нерівності, що містять змінну

Поряд з числовими нерівностями, які вивчаються в шкільному курсі математики, значне місце займають нерівності, що містять змінну. До таких, наприклад, належать і т. д., де і можуть набувати різних значень.

Дві нерівності на певній множині називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. [12]

Рівносильними є також ті нерівності, у кожної з яких множина розв’язків порожня. [12]

При вивченні нерівностей, що містять змінну (або декілька змінних), користуються наступними теоремами.

Теорема1. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) те саме число або вираз, що визначений для всіх допустимих значень невідомого, то дістанемо нерівність, рівносильну заданій.

Наслідок: Будь-який доданок, визначений для всіх значень невідомої величини, можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, помінявши знак цього доданка на протилежний.

Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності помножити на додатне число або вираз, що набуває тільки додатного значення і визначений для всіх значень невідомої величини, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити на від’ємне число або вираз, який визначений для всіх значень невідомої величини і набуває тільки від’ємних значень, а знак нерівності змінити на протилежний, то дістанемо нерівність, еквівалентну даній.

1.3 Основні методи доведення нерівностей

Нехай дано нерівність від однієї змінної (хоча аналогічні міркування можна провести і для більшої кількості змінних). Позначимо нерівність символом – певна умова, яка накладається на змінну .

Довести нерівність , якщо виконується умова , означає показати, що для кожного значення , яке перетворює в істинне висловлення, нерівність теж перетворюється в істинне висловлення. Умова однозначно визначає певну множину значень змінної, яка є її множиною істинності. Коли нерівність при виконанні умови доведена, то це означає, що нерівність на множині тотожно істинна.

Існує багато методів доведення нерівностей. У даній роботі розглянемо такі методи доведення нерівностей.

Доведення нерівностей з допомогою означення.
Доведення від супротивного.
Метод математичної індукції.
Метод зведення до очевидної нерівності
Метод використання класичної нерівності.

1.3.1 Доведення нерівностей з допомогою означення

Цей метод ґрунтується на застосуванні першої властивості, у якій стверджується, що , значить . Аналогічно, , значить , де і - деякі вирази.

Якщо для нерівності () вдається показати, що () – тотожно істинна нерівність на певній множині, то на цій множині буде тотожно істинною і задана нерівність. Для з’ясування знака виразу треба буде, очевидно, виконати на заданій множині деякі тотожні перетворення.

Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних значень виконується нерівність .

Доведення. . Оскільки і , то . Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 2. Довести нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами нерівності і визначимо знак різниці:

, оскільки сума квадратів дійсних чисел додатна чи рівна нулю. Отже, . Нерівність доведена.

1.3.2 Доведення від супротивного

Суть цього методу полягає в наступному. Нехай необхідно довести нерівність , де – деякі вирази. Роблять припущення, що істинною є нерівність супротивного смислу, тобто існує принаймні одне значення змінної , що виконується нерівність . Виконуючи певні перетворення над останньою нерівністю, на певному етапі одержимо нерівність, хибність якої є очевидною, а значить хибною буде і нерівність . Отже, наше припущення було невірне. Нерівність є істинною.

Приклад 3. Довести, що для всіх дійсних виконується нерівність .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай існує дійсне, для якого . Тоді

() .

Ввівши позначення , останню нерівність подамо так: . Дістанемо . Для всіх дійсних , є хибним. Виконавши заміну , дістанемо . Очевидно, що остання нерівність є хибною, отже наше припущення, що хибне і твердження, яке пропонувалось довести, істинне. Отже, . Нерівність доведена.

1.3.3 Метод математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на використанні принципу математичної індукції, що формулюється так: Деяке твердження істинне для будь-якого натурального , якщо:

Воно істинне для .
З того, що істинне для (де - довільне натуральне число), випливає, що воно істинне для натурального числа .

Кожне доведення методом математичної індукції передбачає обов’язкових два етапи. На першому показуємо, що твердження істинне, на другому припускаємо, що істинне, потім доводимо, що з істинності слідує істинність .

Нерідко використовують узагальнений принцип математичної індукції. Якщо твердження , де , істинне для і з того, що воно істинне для числа , причому , випливає, що воно істинне для натурального числа , то твердження істинне для будь-якого значення , .

Описаний метод широко використовується для доведення нерівностей.

Приклад 4. Довести нерівність .

Доведення. Спочатку зазначимо, що нерівність вірна при ,

, .

Припускаємо, що нерівність вірна для , . Доведемо, що вона вірна для , тобто

. Піднесемо ліву частину нерівності до квадрату, а в правій частині розкриємо дужки. Тоді, отримаємо

. Тоді

Отже, для . Нерівність доведена.

1.3.4 Метод зведення до очевидної нерівності

Часто можна довести нерівність, зводячи її за допомогою тотожних перетворень до очевидної, або відомої нерівності.

Існують два методи доведення нерівностей у такий спосіб.

Метод наслідків має вигляд .

- деяка нерівність, або система нерівностей, - відома, (або очевидна нерівність), - нерівність, яку треба довести. Цей метод називається синтетичним.

Правило-орієнтир пошуку доведення синтетичним методом за допомогою аналізу Евкліда можна задати так.

Припустити, що висновок (вимога) задачі на доведення правильний.
Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.
Переконатися, що отриманий висновок-наслідок є або очевидною, або

встановленою раніше істиною.

Взявши отриманий істинний висновок за вихідний, проаналізувати твердження у зворотному напрямі та перейти до висновку про правильність твердження, яке доводять. [22]
Метод рівносильних перетворень має вигляд .

- нерівність, яку треба довести, - деякі нерівності, або системи, - очевидна (або відома) нерівність. Цей метод називають аналітичним. [22]

Міркування виконуються від того, що потрібно довести. При цьому з припущення правильності того, що слід довести (основа), виводять наслідки, які приводять до очевидної правильної нерівності (наслідку). Проте цей аналіз не можна вважати доведеним, хоча ми дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, , де - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність . Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок – правильні взаємно обернені судження.

Поширеним видом очевидної нерівності є нерівність . Рівність досягається лише при .

Приклад 5. Довести нерівність для .

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність

, .

Що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

1.3.5 Метод використання класичної нерівності

У курсі середньої школи учні повинні ознайомитися з такими класичними нерівностями, як: нерівність Коші, нерівність Коші-Буняковського, нерівність Чебишова та вміти застосовувати їх до доведення нерівностей. Але найчастіше для доведення нерівностей використовують нерівність Коші та нерівність про суму взаємно обернених чисел. З рештою класичних нерівностей учні можуть ознайомлюватись на факультативних заняттях.

Нерівність Коші

, де .

Нерівність Коші-Буняковського

Нерівність Чебишова

Нерівність Бернуллі

, де .

Нерівність суми взаємно обернених величин

, при .

Приклад 6. Доведіть нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю лівої і правої частини нерівності, тоді отримаємо:

Ліву частину нерівності зведемо до спільного знаменника,

Помічаємо, що в чисельнику лівої частини нерівності – квадрат різниці, отже,

що очевидно. Рівність досягається лише, коли .

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи

Метод доведення нерівностей за означенням: складають різницю між лівою і правою частинами нерівності і доводять, що вона додатна, від’ємна або недодатна.

Приклад 1. Довести нерівність .

Доведення. Оцінимо різницю між лівою і правою частинами нерівності:

Оскільки сума квадратів завжди число невід’ємне, то різниця між лівою та правою частинами невід’ємна. А отже, нерівність істинна. Слід зауважити, що рівність досягається, якщо .

Приклад 2. Довести, що .

Доведення. . Отже, . Нерівність доведена.

Приклад 3. Довести, що якщо , то .

Доведення. Розглянемо різницю Зведемо дроби до спільного знаменника, отримаємо

Деякі методи доведення нерівностей в курсі математики основної школи та на факультативних заняттях 📙 Курсовая → 🆔 71083