Курсовая  работа

студента группы  

по  теории вероятностей и математической статистике:

Исследование  статистической зависимости 

потери  энергии от толщины слоя накипи 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      Целью данной курсовой работы является исследование зависимости потери энергии от толщины слоя накипи.в рамках науки теории вероятностей и математической статистики.

     Жёсткая вода – это вода, которая содержит избыток временных солей жёсткости  – гидрокарбонатов кальция и магния. Эти соли выпадают в осадок при нагревании, образуя слой накипи. Вот эта самая накипь и является причиной негативных последствий жёсткой воды со всеми вытекающими результатами.

     Проблема  образования водной накипи является общей для большинства областей техники. Практически нет ни одной отрасли промышленности, теплоэнергетики или объектов жилищно-коммунального хозяйства, которые бы не были с ней связаны. Отложения солей жесткости (соли кальция и магния) на поверхности нагревательного, теплообменного и технологического оборудования, внутри трубопроводов, повышают энергетические затраты, снижают ресурс работы оборудования, требуют значительных эксплуатационных расходов. С другой стороны, повышение энергетических затрат неразрывно связано с неизбежным увеличением вредных выбросов в окружающую среду, как в процессе производства, так и при использовании энергоносителей.

     Процессы  образования накипи и инкрустаций  связаны с наличием в природной  воде, в том числе и в пресной, больших количеств растворенных солей кальция и магния. Последствия жёсткой воды, – каковы они? Насколько они критичны, стоит ли вообще бороться с накипью?

     Потери  энергии обуславливаются тем, что  слой накипи имеет очень плохую теплопроводность. И для нагрева воды до той же температуры, до которой она нагревалась обычно, требуется затратить больше энергии. Потери энергии зависят от толщины слоя накипи.

     Потери  энергии на компенсацию толщины  корки накипи напрямую связаны с  жёсткой водой. По сути, эта проблема - нарушение теплообмена, и, в частности, перерасход энергии на нагрев воды - является основополагающей среди всех проблем, вызыванных солями жёсткости. Наиболее затратной, опасной и нежелательной.

     Борьба  против накипи привела к появлению  большого количества различных способов борьбы с накипью. Корка накипи, в первую очередь, влияет на избыточный расход энергии - электричества, газа, угля и т.д. - из-за того, что нагревательному прибору приходится нагревать ещё и слой накипи. А это не металл, для того, чтобы нагреть слой накипи толщиной с трубу, спираль или теплообменник, затрачивается в несколько раз больше энергии.

Постановка  задачи

     Дана  выборка, состоящая из 100 пар чисел ( X_i , Y_i ), i =1, 2, …, 100.

1. Подобрать пример объекта, для которого X_i , Y_i могли бы быть значениями двух признаков, связанных статистической зависимостью. Дать теоретическое обоснование.
2. Построить диаграмму рассеивания. Вычислить выборочные параметры: выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии, средние квадратические отклонения, моды и медианы выборки по X и по Y , корреляционный момент и коэффициент корреляции (по несгруппированной выборке).
3. Построить корреляционную таблицу (7 на 7). Построить полигоны, гистограммы нормированных относительных частот, эмпирические функции распределения по X и по Y, вычислить выборочные параметры (см. п.2) по корреляционной таблице (по сгруппированной выборке).
4. Вычислить параметры для уравнения линейной регрессии Y на X , построить линию регрессии на диаграмме рассеивания.
5. Вычислить параметры для уравнения параболической регрессии, построить найденную параболу на диаграмме рассеивания.

Теоретическая часть

       Дадим определение основным понятиям, которые будут использоваться в данной работе.

      Количество  слоя накипи является случайной величиной. Случайной называют величину, которая в результате испытания (измерения) примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (частотой появления). Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Потеря энергии является, как раз, дискретной случайной величиной.

      Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически и графически.

      При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

                              Z   z₁   z₂  … z_n

                              p   p₁   p₂  … p_n,

где

      Дадим определение некоторым числовым характеристикам дискретных случайных величин, которые описывают случайную величину суммарно. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

      Математическое  ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.

      Математическим  ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Если случайная величина Z может принимать только значения z₁, z₂, …, z_n, вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, …, p_n. Тогда математическое ожидание случайной величины Z определяется равенством

       . (1)

      Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины её математического ожидания (отклонением случайной величины Z от её математического ожидания называют величину ):

       , (2)

Или также  пользуются формулой

       . (3)

      Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения кроме дисперсии и некоторые  другие характеристики. К их числу  относится среднее квадратическое отклонение.

      Средним квадратическим отклонением случайной величины Z называют квадратный корень из дисперсии:

                                . (4)

      Переход от M(Z) к M(Zⁿ) позволяет лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины.

      Начальным моментом порядка k случайной величины Z называют математическое ожидание величины Zⁿ:

                                  . (5)

      Кроме моментов случайной величины Z целесообразно рассматривать моменты отклонения .

      Центральным моментом порядка k случайной величины Z называют математическое ожидание величины :

                             . (6)

      Корреляционным  моментом от X*Y называется математического ожидание от X*Y минус произведение математических ожиданий от X и от Y.

                                                                                      (7)

      Так как способ задания случайной  величины, когда перечисляются все  её возможные значения и соответствующие им вероятности применим не всегда (например, он не применим в случае непрерывной случайной величины), то вводится понятие функции распределения вероятностей случайной величины.

      Пусть z — действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Z примет значение, меньшее z, то есть вероятность события , обозначим через . Разумеется, если z изменяется, то изменяется и , то есть — функция от z.

      Функцией  распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Z в результате испытания примет значение, меньшее z, то есть

                                . (8)

      Пусть из генеральной совокупности извлечена  выборка, причем z₁ наблюдалось n₁ раз, z_k— n_k раз и — объём выборки. Число наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки — относительными частотами. Пусть n_z число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее z; n — общее число наблюдений (объём выборки). Относительная частота события равна . Если z изменяется, то изменяется и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от z. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путём, то её называют эмпирической.

      Эмпирической  функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения z относительную частоту события . Итак, по определению,

                                . (9)

      В отличие от эмпирической функции  распределения выборки функцию  распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

      Эмпирическая  функция распределения выборки  служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

      Для наглядности строят полигоны и гистограммы.

      Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (z₁; W₁), (z₂; W₂), …, (z_k; W_k).

      Гистограммой  относительных нормированных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

      Две случайные величины могут быть связаны  либо функциональной зависимостью, либо статистической, либо быть независимыми.

      Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В случае, когда изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой, мы имеем корреляционную зависимость.

      Условным  средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих . В качестве оценок условных математических ожиданий принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений.

      Выборочное  уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии имеет вид:

                                  , (10)

где — выборочный коэффициент регрессии Y на X. Выражения для и b имеют вид:

                    ; (11)

                   . (12)

      При большом числе наблюдений одно и  то же значение x может встретиться n_x раз, одно и то же значение y — n_y раз, одна и та же пара чисел может наблюдаться n_xy раз. Поэтому данные наблюдений группируют. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной. В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения признака X, а в первом столбце — наблюдаемые значения признака Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты n_xy наблюдаемых пар значений признаков. В последнем столбце записаны суммы частот строк; в последней строке записаны суммы частот столбцов. В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот.

Основная  часть

      Итак, статистические данные зависимости  представлены в таблице:

                       Таблица 1. Исходные данные

Диаграмма рассеивания

     Построим  диаграмму рассеивания, наглядно показывающую тенденцию возрастания Y при возрастании X (см. рис.1).

Числовые характеристики

      Пользуясь основными формулами, приведенными в теоретической части, нетрудно вычислить числовые характеристики случайных величин. Обозначим толщину слоя за X, а потерю энергии за Y. Тогда имеем следующие данные:

      Тогда имеем следующие данные:

1. математическое ожидание ;
2. математическое ожидание ;
3. дисперсия ;
4. дисперсия ;
5. среднее квадратическое отклонение ;
6. среднее квадратическое отклонение ;
7. начальный момент ;
8. начальный момент ;
9. центральный момент ;
10. центральный момент
11. коэффициент корреляции ;
12. ковариация .

Корреляционная  таблица

      Таблица 2. Корреляционная таблица

      Заметим, что размещение частот в корреляционной таблице очень похоже на размещение точек с координатами (X; Y) на диаграмме рассеивания.

Эмпирическая  функция распределения

      Эмпирическая  функция распределения случайной  величины X имеет вид:

Рис. 2 Эмпирическая функция распределения по Х 
 
 
 
 
 
 
 

      Эмпирическая  функция распределения случайной величины Y  имеет вид:

Рис. 3 Эмпирическая функция распределения по Y

Полигоны  и гистограммы

      Построим  для наших случайных величин  X и Y полигоны и гистограммы. Они имеют вид:

Рис. 4 Гистограмма для X 

      Рис. 5 Полигон относительных частот для X 

      Рис. 6 Гистограмма для Y 

      Рис. 7 Полигон относительных частот для Y

      Полигоны  и гистограммы позволяют более  наглядно представить выборку. 

     Вычислим основные числовые характеристики случайных  величин X и Y теперь при помощи корреляционной таблицы. Получим следующие величины:

1. математическое ожидание ;
2. математическое ожидание ;
3. дисперсия ;
4. дисперсия ;
5. среднее квадратическое отклонение ;
6. среднее квадратическое отклонение .

      Очевидно, что результаты несколько отличаются от тех, которые были получены нами ранее вследствие того, что мы получили некоторую сумму погрешностей.

Линии регрессии

     Нанесем на диаграмму рассеивания точки  с координатами (X; Y) и построим для них линейную и параболическую линии регрессии:

Рис. 8 Линейная регрессия 

Рис. 9 Параболическая регрессия 

      По  линиям регрессии (точнее по уравнениям линий регрессии) можно рассчитывать величину Y в любой промежуточной точке.

Итоги и выводы

      В данной работе при помощи статистических методов были прослежены закономерности и связи между двумя дискретными случайными величинами: X — толщина слоя накипи (мм)  и Y — потеря энергии (Дж).

      Для этих величин были посчитаны числовые характеристики дискретных случайных величин, построены полигоны и гистограммы распределения частот, приведены диаграммы рассеивания с линиями регрессии, а также корреляционная таблица для случайных величин X и Y.

      В результате была научно доказана в  принципе очевидная закономерность: с увеличением толщины слоя накипи на приборе потеря энергии увеличивается.

Список  литературы

1. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — Изд. 7–е, стер. — М.: Высшая школа, 2001.
2. В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5–е, стер. — М.: Высшая школа, 2001.
3. Лифщиц О.В. Справочник по водоподготовке котельных установок. М.: Энергия, 1976. 288 с.