Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Исторический обзор изучения тригонометрии в школе

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра элементарной математики

Курсовая работа по теме

«Исторический обзор изучения тригонометрии в школе»

Выполнила:

Студентка математического

факультета 4 курса № 2

группы

Котлетина К.М.

Проверил:

кандидат педагогических наук,

доцент

Шеогарин А.В.

Москва, 2012

Содержание

1.Введение----------------------------------------------------------------------------------------3

2.История возникновения тригонометрии-------------------------------------------------4

3.История изучения тригонометрии в школе----------------------------------------------6

3.1 Развитие тригонометрии в XVIII столетии------------------------------------6

3.2 Развитие тригонометрии в первой половине XIX столетия----------------7

3.3 Развитие тригонометрии во второй половине XIX -начале XX столетий-----------------------------------------------------------------------------------9

3.4 Изучение тригонометрии в школе до 1966 года----------------------------10

3.5 Изучение тригонометрии в школе после 1966 года------------------------11

3.6 Изучение тригонометрии в современной школе----------------------------12

4. Заключение-----------------------------------------------------------------------------------15

5. Литература-----------------------------------------------------------------------------------16

1.Введение

Тригонометрия есть глава математического анализа, изучающая свойства некоторого класса функций и некоторые приложения этих функций

Одной из основных целей преподавания математики в средней школе является подготовка учеников к высшему образованию. Важность этой цели различается в зависимости от раздела математики. Например, курс арифметики сам по себе достаточно полноценен и необходим в повседневной жизни, в алгебре и геометрии эта цель более востребована, а в тригонометрии эта цель является основополагающей, т.к. применение тригонометрии в жизни гораздо более ограничено: в основном это решение прямоугольных треугольников и некоторые разделы физики.

Исторически первая задача, потребовавшая применения тригонометрии – это решение треугольников. Под влиянием этой задачи сложился школьный курс тригонометрии, для которого характерны 2 особенности: 1) точка зрения на тригонометрические функции как на функции угла, 2) приспособление всей теории тригонометрических функций к задаче решения треугольников.

Правда, развитие математического анализа и механики оказало некоторое влияние и на школьный курс тригонометрии. Например, введение отрицательных углов и углов любой величины не связано с задачей решения треугольников.

В данной работе мы рассмотрим историю зарождения такой науки, как тригонометрия. Особое внимание будет уделено вопросу о том, как изменялись объем и содержание тригонометрии как учебной дисциплины, начиная с XVIII века и заканчивая нашими днями.

2. История возникновения тригонометрии

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла α у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2α.

Греческий астроном Гиппарх во II в. До н.э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр – на 120 частей. Он считал радиус равным 60ч частям. Каждую из частей он делил на 60', а каждую минуту на 60'', секунду – на 60 терций (60''') и т.д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса, а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84ч51'10''. Хорду в 120° - сторону вписанного равностороннего треугольника – он выражал числом 103ч55'23'' и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда α)² + (хорда |180 – α|)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α + cos²α = 1.

Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гонна» - угол и «метрио» - измеряю).

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал- Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели труды ал-Баттани (ок. 850-929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940-998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15', значения в которой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (973-1048) обобщил и при этом уточнил результаты, которых достигли его предшественники в области тригонометрии. В труде «Канон Мас’уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Птолемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объяснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единичным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометрические сведения как самостоятельный отдел математики, а не придаток к астрономии.

В Европе XII-XV вв., после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский язык некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие тригонометрии продолжалось. Самым видным европейским представителем это эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его мастерски изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI-XVII вв.

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал ещё Франсуа Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и направленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуковых, световых и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов.

Расширение представлений о тригонометрических функциях привело к обоснованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции определяются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. Н.И. Лобачевским и другими учеными.

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть – учение о тригонометрических функциях – является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть – решение треугольников – рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической)».

Рассмотрим подробнее изучение тригонометрии в школе в период с XVIII века по наши дни.

3. История изучения тригонометрии в школе

3.1 Развитие тригонометрии в XVIII столетии

Первые школы, в программу которых была введена в качестве учебного предмета тригонометрия, возникли в начале XVIII столетия, при Петре I. Это были, главным образом, технические и специальные школы, подготовлявшие нужных государству специалистов. Первой такой школой явилась Московская «математических и навигацких, т.е. мореходно – хитростных наук школа», которая была открыта в 1699 г.

В программу этой школы были включены арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и специальные науки.

В 1712 году были организованы в Москве по типу навигацкой инженерная и артиллерийская школы.

Для этих школ нужны были учебники и учебные пособия, которые и начали печататься в первые же годы просветительной деятельности Петра I.

В январе 1703 г. была напечатана «Арифметика сиречь наука числительная» Леонтия Филипповича Магницкого, являющаяся одной из самых известных русских математических книг XVIII столетия. Все сведения о тригонометрии в этой книге связаны с мореплаванием или земельным делом, т.е. имеют прикладной характер. «Арифметика» Магницкого имела для своего времени большое общеобразовательное значение и представляла значительный прогресс по сравнению с предшествующей учебной математической литературой.

Общей тенденцией учебной литературы 1730-1800 гг. было стремление перейти от догматического изложения учебного материала в виде правил и решения задач к систематически построенным курсам, содержащим доказательства.

Учебники тригонометрии второй половины XVIII века можно подразделить на 2 типа: в одних тригонометрия рассматривается как часть геометрии, и изложение материала в них имеет чисто геометрический характер, в других рассматриваются тригонометрические величины дуг любой четверти окружности, решается вопрос о знаках тригонометрических величин, появляются в привычной для нас записи тригонометрические формулы, характер изложения материала в них аналитический.

К учебникам первого типа относятся учебники Депарсье, И. Вейдлена, Николая Курганова, Хр. Вольфа и др. Все учебники второго типа были написаны под влиянием работ Леонарда Эйлера, например, учебники С. Румовского, М. Головина, А.Кестнера . До Эйлера тригонометрические величины рассматриваются как отрезки, проведенные в круге того или иного радиуса. Эйлер вводит вместо тригонометрических отрезков их отношения к радиусу, рассматривает тригонометрические величины как функции дуги и выводит тригонометрические формулы из нескольких простейший, пользуясь алгебраическим методом.

Несмотря на появление учебников с аналитическим типом изложения материала, довольно долгое время оставались в ходу учебники, в которых учебный материал излагался в форме геометрических предложений.

3.2 Развитие тригонометрии в первой половине XIX столетия

До введения в декабре 1845 года Министерством Народного Просвещения «Распределения преподавания математики в гимназиях» , включавшего в себя программы по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии, - содержание гимназического курса математики определяется учебниками, принятыми тогда в школе. Как в учебниках того времени, так и в программах (начиная с 1845 года) тригонометрия рассматривается как наука о решении треугольников. Теории тригонометрических линий отводится в них лишь служебная роль.

Однако, наряду с такой точкой зрения на тригонометрию, в учебной литературе появляется и новое ее понимания как теории особого рода функций, называемых круговыми.

Тригонометрические величины по-прежнему определяются в большинстве учебников как отрезки в круге произвольного радиуса или радиуса, равного единице. Вместе с тем некоторые из авторов довольно близко подходят к пониманию тригонометрических величин как отношений тригонометрических линий к радиусу.

Отдельные авторы начинают различать тригонометрические линии дуг от тригонометрических величин углов, а именно: тригонометрическая линия угла определяется как тригонометрическая линия соответствующей ему дуги при радиусе, равном единице. Отсюда следует, что тригонометрическая линия угла выражается числом, представляющим ее отношение к радиусу.

Постепенно намечаются в учебниках современные обозначения тригонометрических величин.

Определения тригонометрических величин и формулы, выражающие их свойства, обобщаются для дуг любой величины. Формулам сложения и вычитания придается особое значение, подчеркивается, что они являются основными в курсе тригонометрии.

В связи с вычислением значений тригонометрических величин появляется необходимость вычислять длину дуги окружности единичного радиуса. Так совершенно естественно вводится измерение дуг окружности в частях ее радиуса.

Теория решения треугольников получает своё дальнейшее развитие. Ставится вопрос о наименьшем количестве уравнений, связывающих элементы треугольника и необходимых для его решения.

В учебниках появляются упражнения для самостоятельной работы учащихся, хоть пока и в небольшом объеме. Подчеркивается значение алгебраического метода в курсе тригонометрии, но вместе с тем указывается и на достоинства геометрического метода, как более наглядного.

В «Новых началах геометрии » Н.И. Лобачевский дает теорию тригонометрических функций, развиваемую во всей общности аналитическим путем, а также занимается вопросом о степени точности логарифмических вычислений при решении треугольников.

На рубеже первой и второй половины XIX столетия появляется новое построение школьного курса тригонометрии, начинающегося с теории решения треугольников и завершающегося теорией тригонометрических величин. Такое построение с одной стороны оправдывается самим определением предмета, как состоящего в решении треугольников, а с другой стороны этим достигается известное упрощение в изложении этого курса.

3.3 Развитие тригонометрии во второй половине XIX -начале XX столетий

В этот период наблюдается особенное оживление в области вопросов, относящихся к улучшению преподавания математики в средней школе.

При Министерстве Народного Просвещения и учебных округах обсуждаются в целом ряде специальных комиссий вопросы, связанные с различными проектами реформы средней школы, проектами учебных планов и программ.

По вопросу о преподавании тригонометрии высказывается мнение, что изучение тригонометрии следует начинать с наиболее легкой ее части, а именно с решения треугольников, а также, что в курсе тригонометрии следует выдвинуть на первый план учение о тригонометрических функциях с целью развить понятие о функциональной зависимости, о графическом и табличном ее изображении, о непрерывности и периодичности изменения величин и т.д.

На II Всероссийском съезде преподавателей математики тригонометрии посвящается особое заседание. Получает общее признание идея первого концентра тригонометрии, в котором по возможности скорее переходят к решению треугольников.

В учебной литературе начала XX столетия наблюдаются два направления в изложении курса тригонометрии:

Согласно одному из них изучение свойств тригонометрических функций должно предшествовать приложению этих свойств к решению треугольников
Согласно другому считается полезным предпослать решение треугольников изучению свойств тригонометрических функций

Кроме обычных определений синуса и косинуса дуги, встречается также

их определение с помощью координат конца соответствующей дуги. В качестве иллюстрации хода изменения тригонометрических функций применяются во многих учебниках графики.

Для общности выводов, при доказательстве теоремы сложения дуг, используется теория проекций.

Получают большее развитие в курсе тригонометрии разделы об обратных тригонометрических функциях и о тригонометрических уравнениях.

Появляются курсы тригонометрии, в которые включены первоначальные сведения по тригонометрии.

3.4 Изучение тригонометрии в школе до 1966 года

В учебной и методической литературе за период после 1917 года подробно разработаны вопросы о содержании и методике преподавания первого концентра курса тригонометрии. В этом концентре рассматриваются тригонометрические функции острого угла и применение их к решению вопросов геометрии. В ряде учебников эти первоначальные сведения по тригонометрии представляют особую органическую часть курса геометрии.

Содержание второго концентра курса тригонометрии определяется отдельными авторами, как учение о тригонометрических функциях.

Раздел о решении треугольников в этом концентре рассматривается, как составление, решение и исследование систем уравнений, определяющих неизвестные элементы треугольника по некоторым данным.

Большое внимание уделяется вопросам обобщения понятий угла и дуги и определения тригонометрических функций. Эти функции определяются в ряде учебников с помощью проекций радиуса вектора на соответствующим образом выбранные оси.

Высказывается мнение, что графики тригонометрических функций следует рассматривать не только, как средство для наглядного изображения хода изменения этих функций, но и как средство, дающее возможности учащемуся более глубоко изучить свойства тригонометрических функций.

Указывается на значение курса тригонометрии в системе среднего математического образования. Как завершающего, в известной мере, круг элементарных математических знаний и, в то же время, составляющего переходную ступень к, так называемой, высшей математике.

Несколько позже, уже в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.
В 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается "решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц".

Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина "Тригонометрия", на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебры. Для этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник (С. И. Новоселов "Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы) выдержавший десять изданий.

Учебник тригонометрии предназначался для старшей ступени обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим уравнениям уделялось совсем немного внимания. В учебнике рассматривались простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

3.5 Изучение тригонометрии в школе после 1966 года

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название "реформа А.Н. Колмогорова", отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых "Поворот и тригонометрические функции".

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная школьная дисциплина и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось по учебнику Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой. В поддержку этого учебника был издан сборник задач А.И. Худобина, Н.И. Худобина, М.Ф. Шуршалова.

Но эти учебник и задачник переходного периода проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник "Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы" (1975) под редакцией А.Н. Колмогорова. В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

3.6 Изучение тригонометрии в современной школе

К концу XX в. в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной Г.М. Кузнецовой в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. В курсе алгебры - синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

2. В курсе геометрии - синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла, решение прямоугольных треугольников, метрические соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени обучения для общеобразовательных классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к необязательному материалу.

Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения для общеобразовательных классов.

Введение всеобщего и обязательно десятилетнего образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это проблема обучения всех детей в течение одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное значение в представлениях некоторых специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в вузе.

До шестидесятых годов такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т.п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

4. Заключение

В данной работе были рассмотрены наиболее важные этапы развития тригонометрии как науки, приведены имена знаменитых математиков, которые повлияли на это развитие.

Но наиболее важным является рассмотрение истории тригонометрии как учебного предмета от прикладного предмета, актуального для обучения мореплавателей и геодезистов, до нынешнего объема школьной тригонометрии.

Так же в работе были освещены вопросы, как и почему тригонометрия перестала быть отдельным предметом, какая часть тригонометрии осталась в школьном курсе.

5. Литература

Бескин Н.М. «Вопросы тригонометрии и её преподавания», М.: Учпедгиз.1950
Г. И. Глейзер «История математики в школе. VII-VIII классы»,М.: Просвещение. 1982
И.К. Парно «Учебники тригонометрии и вопросы её преподавания в русской дореволюционной и советской средней школе»,М.:1950
Малыгин К.А «Элементы историзма в преподавание математики в средней школе», М.: Учпедгиз.1956

Исторический обзор изучения тригонометрии в школе 📙 Курсовая → 🆔 97550