Критерии устойчивости САУ

ВВЕДЕНИЕ 

     Теория автоматического управления (ТАУ) – научная дисциплина, предметом  изучения которой является информационные  процессы, протекающие в автоматических  системах управления, а также  специальная наука, изучающая общие для всех замкнутых автоматических систем принципы построения и методы исследования их статических и динамических свойств.

    В настоящее время ТАУ наряду  с новейшими разделами так  называемой общей теории управления (исследование операций, системотехника, теория игр, теория массового обслуживания) играет важную роль в совершенствовании и автоматизации управления производством.

     Для любых систем в которых  протекают процессы управления  характерна одна общая черта:  отдельные элементы этих систем  взаимосвязаны так, что передают  друг другу некоторые сообщения о происходящих них процессах посредством сигналов, т. е. информации.

     Совокупность объекта управления  и управляющего устройства, взаимодействие  которых приводит к выполнению  поставленной цели, называют системой  автоматического управления (САУ).

САУ должна удовлетворять определенным технологическим  и энергитическим требованиям, требованиям  надежности и т. д. систему необходимо исследовать по двум режимам: по статическому и по динамическому.

     На этапе исследования статического режима не всегда удается, учесть внутренние ограничения, заложенные в систему. Эти ограничения можно учесть лишь при анализе работы системы в динамическом  режиме. Анализ динамического режима позволяет получить данные об устойчивости замкнутой системы и о ее быстродействии, так как устойчивость определяет ее работоспособность, а быстродействие влияет на динамическую точность и производительность технологического оборудования. Динамический режим становится определяющим для систем, управляющих машинами, в которых необходимо получить высокую производительность.

     Обеспечение устойчивости САУ  является фундаментальным необходимым  требованием и поэтому всегда  рассматривается отдельно. Что же  касается остальных требований  к САУ (ошибки воспроизведения, статическая ошибка, время регулирования и т. д.), то они могут быть объединены одним термином – качество системы автоматического управления. Как устойчивость, так и качество САУ обеспечиваются выбором необходимого вида закона управления и величиной его параметров. Это является одной из первых и важнейших задач при разработке САУ. 

     Автоматизация производства неизменно  связана с созданием различных  систем управления, которые выполняют  функции контроля и регулирования  производственных процессов, заменяя  человека.

          Различают несколько уровней автоматизаций производства:

• локальная автоматизация, т.е. автоматизация отдельных технологических операций или единиц оборудования, построенная на базе узко специализированных по назначению автоматических регуляторов или широко универсальных систем, в которых, как правило, используют современные методы цифрового управления;
• автоматизация совокупности технологических процессов, когда автоматизированы связанные между собой технологические операции (процессы); они обеспечивают автоматическую работу комплексов технологического оборудования, координированное функционирование большого числа локальных систем;
• автоматизация управления производством, т.е. создание автоматизированных систем планирования и управления производством на базе вычислительной техники; такие системы используют при управлении как технологическими объектами, так и коллективами людей, осуществляющими производственный процесс;
• автоматизация инженерно – технической деятельности, когда автоматизируются проектирование, конструирование новых изделий, технологическая подготовка производства.

     В применении к любому производственному процессу степень автоматизации характеризуется частичным или полным освобождением человека от непосредственного выполнения функций управления производственными процессами и передачей этих функций автоматическим устройствам.         Автоматическими называют устройства, которые управляют различными процессами и контролируют их без непосредственного вмешательства человека. При этом не только высвобождается труд человека, но и повышается скорость и точность выполнения операций, значительно возрастает производительность и улучшаются условия труда, а также возможна сравнительно быстрая окупаемость первоначальных затрат за счет снижения эксплуатационных расходов и повышения объема и качества выпускаемой продукции.

     Автоматизация – процесс совершенствования производства, характеризуемый прежде всего уменьшением потока информации от человека к машине и повышением самостоятельности различных уровней и звеньев управления.

     Современные станки как средство  автоматизации – это сложные  технические системы, состоящие  из большого числа технических  агрегатов, приводов различного  типа, приспособлений, измерительных  и решающих устройств. Это оборудование является основой функционирования самых различных производственных систем.

     В настоящее время применение  станков с ЧПУ сокращается  главным образом вспомогательное  время на обработку. Эффективность  этих станков значительно повышается, когда ими оснащают участки, цеха или когда их включают в автоматические линии, управление работой которых осуществляется от ЭВМ.

     Тем не  менее эти преимущества  не позволяют исключить рабочего  из технологического процесса, так  как в функции системы управления станком еще не перешла умственная работа, которая обеспечивает высокое качество изготовления.

     Дальнейшим развитием автоматизации  явилось создание гибких производственных  модулей – независимых обрабатывающих  комплексов, управляемых с помощью  ЭВМ без участия человека; соединение гибкой производственной ячейки с другими производственными подразделениями, которые подают заготовки, инструмент и другие необходимые материалы и информацию. Это привело к созданию систем машин, управляемых от ЭВМ. Окончательным шагом автоматизации является интеграция с помощью ЭВМ всей производственной деятельности, начиная от конструирования изделия и до его изготовления.

     Реализация комплексной автоматизации  привела к необходимости создания  высокоэффективных систем управления на основе средств вычислительной техники для всего производственного процесса. Такая система управления, обладающая развитым алгоритмическим, программным, информационным и техническим обеспечением, способна осуществить как необходимый уровень автоматизации всех этапов производственного процесса, так и его эффективную перестройку (гибкость) за счет предварительного программирования необходимых или желаемых структур.

     Каждый этап автоматизации отдаляет  человека от физического труда.  Труд для человека приобретает новый смысл, при этом ограниченные возможности человеческого организма не препятствуют росту производительности труда. Каждый этап автоматизации характеризует определенный уровень развития технологии и связанных с ней параметров эффективности производства (качество, производительность и себестоимость изготовления изделий).

     Непрерывная интенсификация производственных  процессов ведет, как правило,  к усложнению функций управления. Однако достижения в области  математики, кибернетики, экономики, а также быстрое развитие средств вычислительной техники существенно расширяют возможности создания новых высокоэффективных производственных и технологических процессов и методов управления ими.

     Сегодня автоматизация процессов  производства лежит в основе развития всех отраслей техники. С каждым годом автоматизация охватывает все новые звенья производственного процесса и становится комплексной, вызывая кардинальные изменения в технологии и организации производства. 
 
 
 

1.  ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ 

1.1Виды и общие условия устойчивости САУ 

     Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления наряду с точностью является устойчивость. Причем, если показатели точности определяют степень полезности и эффективности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность (т.е. система вредна). Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления. Неустойчивой считается система, если при снятии входного управляющего сигнала на выходе ее имеют место незатухающие колебания.

     Система автоматического управления имеет математическую модель. Дифференциальные уравнения, описывающие систему автоматического управления, являются, по сути дела, ее математической моделью, исследование которой позволяет получить значения критериев оценки с учетом заданной точности и производительности, а также влияния внешних воздействий.

     Устойчивость автоматической системы  – это свойство системы возвращаться  в исходное состояние равновесия  после прекращения воздействия,  выведшего систему из этого  состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

     САУ, как любая динамическая  система, характеризуется переходным  процессом. Переходный процесс  зависит как от свойств системы,  так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда следует различать две составляющие: - свободные движения самой системы; - вынужденные движения, определяемые воздействием и свойствами системы.

     Система  является устойчивой, если свободная составляющая  переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если 

Устойчивость  в смысле условия    принято называть асимптотической.

     Если свободная составляющая  неограниченно возрастает, т.е. если 

то система  неустойчива.

     Если свободная составляющая  не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

     В соответствии с определением  устойчивости системы дифференциальное  уравнение линейной системы характеризуется  свободными движениями системы.  Так как свободное движение  линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

Где  свободная составляющая выходной величины системы.

     Решение дифференциального уравнения  представляет собой сумму

,                                                          (1.4)

где  - постоянные зависящие от начальных условий;

- корни  характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения  могут быть действительными  мнимыми и комплексными  . 
 

     Общее условие устойчивости:

• для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными;
• для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Если  хотя бы один корень имеет положительную  действительную часть то система  неустойчивая.

     Простейшим критерием устойчивости  является условие положительности  коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения  является необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы.

     Критерии устойчивости могут  быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения. Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы.  
 

1. Обоснование выбора критериев устойчивости.

Описание критериев устойчивости 
 

     Прямой метод анализа устойчивости  систем, основанный на вычислении  корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней. Весьма важное значение в инженерной практике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе. 

     Различают две группы критериев  устойчивости: алгебраические (Рауса  и Гурвица), эти критерии позволяют  определить устойчивость системы путем сопоставления коэффициентов уравнения с коэффициентами Рауса или определителями Гурвица; (Михайлова, Найквиста) основанные на анализе частотных характеристик.

     Одним из наиболее удобных  для практического использования  является критерий Гурвица (1895г.), основанный на рассмотрении характеристического уравнения.

     Применительно к задачам теории  управления Критерий Гурвица можно сформулировать так:

     Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

   Устойчива, если при  положительны все определители    вида

     Если хотя бы один из определителей,  называемых определителями Гурвица,  отрицателен, то система неустойчива.

     Если главный определитель  ,  а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

     Критерий Рауса (1877г.), целесообразно использовать при анализе устойчивости систем выше четвертого порядка. Критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы. Который представляет собой таблицу. В первой строке  таблицы записывают коэффициенты уравнения, имеющие четный индекс, во второй  с нечетными индексами, в последующих строках  помещены коэффициенты Рауса, полученные как комбинации коэффициентов двух вышестоящих строк по формуле

где  - номер строки,  - номер столбца. 

Таблица 1.1  Коэффициенты Рауса 

Сам критерий формулируется так:

Автоматическая  система устойчива, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (включая и ).

     Если не все коэффициенты столбца  положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

     Критерий Михайлова (1936г.)  так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

     Пусть левая часть характеристического  уравнения, называемая характеристическим  полиномом, имеет вид

Подставим в этот полином вместо переменного  чисто мнимый корень . Получим функцию комплексного переменного 

Которую можно так же, как амплитудно –  фазовую характеристику, представить  в виде суммы действительной и  мнимой частей: 

Действительная  часть  содержит только четные степени переменного : 

а мнимая часть  - только нечетные: 

Если  изменять параметр    от 0 до , то конец вектора опишет некоторую линию. Которая называется характеристической кривой  или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы. 

• Автоматическая  система управления, описываемая  уравнением порядка, устойчива, если при изменении от 0 до характеристический вектор системы повернется против часовой стрелки на угол  , не обращаясь при этом в нуль.

     Это означает, что характеристическая  кривая устойчивой системы должна  при изменении   от  0 до пройти последовательно через n квадрантов.

     Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если  характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива. Если кривая  проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

     В практических расчетах удобно  применять  следствие из критерия  Михайлова:

• система устойчива, если действительная  и мнимая части характеристической функции  обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений перемежаются.

Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n > 5). 

     Критерий Найквиста (1932г.)позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

• Автоматическая система управления устойчива, если амплитудно – фазовая характеристика  разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).

     Для суждения об устойчивости  систем, имеющих а. ф.  х. сложной  конфигурации, когда кривая а.  ф. х. пересекает действительную ось левее точки

(-1; j0) несколько раз, можно также использовать правило переходов, а. ф. х. не охватывает точку (-1; j0), т.е. система устойчива, если при возрастании разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов а. ф. х. через ось абсцисс слева от точки  (-1; j0) равна нулю.

     Иногда на практике встречаются  системы, в контуре которых  имеется одно или несколько  неустойчивых элементов. Такие  системы в разомкнутом состоянии неустойчивы. Для суждения об их устойчивости необходимо использовать формулировку критерия Найквиста:

• автоматическая система управления устойчива, если амплитудно – фазовая характеристика    разомкнутого контура охватывает - раз точку с координатами (-1; j0)  где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

     Рассмотренные критерии устойчивости  на практике применяются лишь  для оценки устойчивости готовых  систем, когда все параметры заданы. Если же ставится задача определения некоторых параметров для обеспечения устойчивости системы и при этом используются критерии устойчивости, то объем расчетов по заданию конкретных числовых значений параметров и исследованию устойчивости системы будет значительным. 
 
 

2. РАСЧЕТНЫЙ  РАЗДЕЛ

     Определим с помощью критерия Гурвица устойчивость системы управления частотой вращения двигателя, при следующих значениях: 

            Тм=0,9 с; Тя=0.3 с; Тг=0,7с; К=14.           
 
 

                                                                                         Мс