Історія виникнення золотого перерізу

ВСТУП

Актуальність теми. Йоганн Кеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами: теоремою Піфагора і золотим перерізом. Про теорему Піфагора чув кожен, а про золотий переріз – далеко не всі.

Із давніх-давен люди намагалися пізнати світ через пошук гармонії і досконалості. У зв'язку з цим виникає інтерес до золотого перерізу, який відіграв у розвитку людської культури не меншу роль, ніж число π, яке лежить в основі тригонометрії. Оцінюючи роль золотого перерізу в розвитку давньогрецької культури, геніальний російський філософ Олексій Лосєв якось сказав: «З погляду Платона, та і взагалі з погляду всієї античної космології, світ є якесь пропорційне ціле, таке, що підкоряється закону гармонійного поділу – золотого перерізу» [3].

Із золотим перерізом тісно пов'язано інше математичне відкриття, зроблене в XIII столітті видатним італійським математиком Леонардо Пізано (по прізвиську Фібоначчі). Йдеться про так звані числа Фібоначчі, які пізніше були вибрані предметом математичного дослідження групою американських математиків.

Піраміда Хеопса, скульптурні і архітектурні пам'ятники грецької культури і епохи Ренесансу, неперевершена «Джоконда» Леонардо да Вінчі, картини Рафаеля, Шишкіна і Костянтина Васильова, етюди Шопена, музика Бетховена, Чайковського і Белли Барток, «Модулор» Корбюз’є, соснові шишки, кактуси, ананаси, морські зірки і раковини, Єгипетський календар – ось далеко не повний перелік «творів» природи, науки і мистецтва, наповнених чудовою гармонією, в основі якої лежить золотий переріз!

Золотий переріз займає значне місце в сучасних дослідженнях живої і неживої природи. Яскраві відкриття сучасної науки – квазікристали Шехтмана та інші сучасні наукові відкриття, засновані на золотому перерізі, поза сумнівом мають «стратегічне» значення для розвитку сучасної науки. Іншими словами, в даний час неможливо уявити собі подальший розвиток математичної науки та наук про природу без золотого перерізу. Це і зумовило вибір теми курсового дослідження «Золотий переріз».

Мета дослідження – провести огляд історії виникнення золотого перерізу, з’ясувати його математичну суть та роль у сучасному житті.

Відповідно до мети дослідження були сформульовані такі завдання:

      1) на основі аналізу наукової літератури з’ясувати сутність золотого перерізу;

2. навести приклади використання золотого перерізу в математиці;
3. з’ясувати місце і роль золотого перерізу в оточуючому світі.

Об’єкт дослідження – поділ відрізка в заданому відношенні.

Предмет дослідження – золотий переріз.

Для розв’язання поставлених завдань використано такі теоретичні методи дослідження: системний аналіз наукової літератури з проблеми дослідження, порівняння, аналогія, узагальнення.

Структура роботи. Курсова робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків. Основний зміст роботи викладений на 27 сторінках.

РОЗДІЛ 1

СУТНІСТЬ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

1.1. Історія виникнення золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий переріз увів Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. до н.е.). Але є припущення, що Піфагор своє знання золотого перерізу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перерізу при їх створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що в рельєфі з храму фараона Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого перерізу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого перерізу.

Відомо, що греки були великими майстрами геометрії. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників (рис. 1.1) [3, с. 25].

Рис. 1.1

Платон (427 – 347 рр. до н.е.) також знав про золотий переріз. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого перерізу.

Досить цікавою архітектурною пам’яткою є храм Парфенон.

Якщо зробити розподіл Парфенона по «золотому перерізу», то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого перерізу (рис..1.2) [4, с. 59].

Рис. 1.2

В античній літературі золотий переріз вперше згадується в «Началах» Евкліда. У другій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого перерізу. Після Евкліда дослідженням золотого перерізу займалися Гіпсікл.(II.ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та інші. У середньовічній Європі перші знання про золотий переріз здобули в арабських перекладах «Начал» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого перерізу старанно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки посвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого перерізу серед учених і художників у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників великий емпіричний досвід, але брак знань. Він почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свій задум. На думку сучасників та істориків, Лука Пачолі був справжнім світилом, найкращим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм.

Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. У 1496 році на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро у той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її «божественну суть» як вираження божественної триєдності: бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок – бога батька, а весь відрізок – бога духу святого).

Леонардо да Вінчі багато уваги приділяв вивченню золотого перерізу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з відношеннями сторін у золотому поділі. Тому він дав цьому поділу назву золотий переріз.

У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише: «Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити» [3, с. 11].

Альбрехт Дюрер детально розробляв теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя – устами тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон. Та з часом наука дещо занепала, внаслідок чого про золотий переріз забули. Знову «відкрито» золотий переріз було в середині XIX століття. У 1855 р. німецький дослідник золотого перерізу професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». Він оголосив пропорцію золотого перерізу універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були й противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичною естетикою» [12, с. 12].

Дослідження золотого перерізу продовжуються і в наш час.

1.2. Відношення золотого перерізу

Золотий переріз (золота пропорція) – пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як більша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього (рис. 1.3) [8, с. 564].

 або                                             (1)

Рис. 1.3

Практичне знайомство із золотим перерізом починається з поділу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки (рис. 1.4).

Рис. 1.4

У точку опустили перпендикуляр, рівний половині . Отримана точка з'єднується лінією з точкою . На отриманій лінії відкладаємо відрізок , що закінчується точкою . Відрізок переноситься на пряму . Отримана при цьому точка ділить відрізок у співвідношенні золотої пропорції.

;

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618..., якщо прийняти за одиницю, 0,382.... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша – 38 частинам [9, с. 466].

Обчислення значення золотого перерізу.

Золотий перереріз, який позначається літерою , можна обчислити безпосередньо з означення:

Праве рівняння дає . Підставляючи цю рівність у ліву частину:

Скоротивши отримаємо:

Помноживши обидві частини на отримаємо:

Це квадратне рівняння має два розв'язки, один з яких є додатнім[2, с. 30]:

РОЗДІЛ 2

 ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ І МАТЕМАТИКА

2.1. Зототий переріз та числа Фібоначчі

Із золотим перерізом побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше за своїм прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci – скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі).

У 1202 році ним була написана книга «Liber abacci», тобто «Книга про абак». «Liber abacci» представляє собою об'ємну працю, що містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу і зіграла помітну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме по цій книзі європейці познайомилися з індуськими («арабськими») цифрами.

Значну частину цього трактату становлять практичні завдання, які розкривають зміст матеріалу [3].

У математиці добре відома послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,..., звана числами Фібоначчі (послідовність Фібоначчі) і утворена за рекурентною формулою:

де n – натуральне число і початкові члени рівні 1 і 1.

Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Це відношення позначається символом [11].

Французький математик Біне показав, як пов'язані числа Фібоначчі і основа золотої пропорції:

Ця формула цікава тим, що справа знаходяться ірраціональні числа і , а ліворуч завжди ціле. З останньої формули легко отримати таке співвідношення:

яке разом із формулами показує глибокий зв'язок між числами Фібоначчі і основою золоті пропорції. У них можна помітити майже «містичну» присутність числа 5.

Фундаментальне значення золотого перерізу обґрунтовується також тим, що є границею деяких простих і природним чином певних числових послідовностей. Як приклад наведемо два нескінченних вирази для числа :

,

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гирь можна зважити товар? Фібоначчі довів, що оптимальною є така система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і «двійковий» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на один: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа з самим собою 2=1+1; 4=2+2..., у другому – це сума двох попередніх чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... [2,.с. 31].

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого перерізу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу.

Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій природі дозволяють говорити про деякий єдиний механізм їх виникнення. Числа Фібоначчі і золотий переріз є математичним описом деякого формотворного процесу [3].

2.2. «Золоті» фігури

На основі ідеї золотого перерізу існують різні фігури, що містять цю пропорцію. Аналогічно назві пропорції, їх називають «золоті» фігури.

Золотий прямокутник.

Якщо побудувати квадрат зі стороною =, знайти середину відрізка і провести дугу кола радіусом з центром у точці до перетину з продовженням сторони в точці , то точка розділить відрізок в крайньому і середньому відношенні.

Щоб переконатися в цьому, зауважимо, що за теоремою Піфагора

,

Прямокутник зі сторонами називається золотим прямокутником. Чотирикутник – квадрат. Неважко побачити, що прямокутник також золотий, оскільки . Ця обставина відразу наводить на думку про подальше розбиття прямокутника (рис..2.1).

Чи можна вважати, що прямокутник з відношенням сторін, рівним , виглядає витонченіше, ніж прямокутники з відношенням сторін, скажімо, 2:1, 3:2 або 5:7? Щоб відповісти на це питання, були проведені спеціальні експерименти. Результати їх не цілком переконливі, але все ж свідчать про деяку перевагу, що віддається золотому перерізу [10, с. 52].

Рис. 2.1

Золотий трикутник.

Проводимо пряму . Від точки послідовно відкладаємо три рівні відрізки довжиною через отриману точку проведемо перпендикуляр до лінії , на перпендикулярі вправо і вліво від точки відкладаємо відрізки довжиною . Отримані точки і E з'єднуємо прямими з точкою . Відрізок відкладаємо на лінію , отримуючи точку . Вона розділила лінію в пропорції золотого перерізу. Лінії і використовують для побудови «золотого» прямокутника (рис. 2.2) [7, с. 5].

 
Рис. 2.2

Золотий п'ятикутник.

Яскравим прикладом золотого перерізу є правильний п'ятикутник – опуклий і зірчастий (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п'ятикутник.

Нехай – центр кола, – точка на колі і – середина відрізка . Перпендикуляр до радіуса , що проходить через точку , перетинається з колом у точці . Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок . Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює . Відкладаємо на колі відрізки і отримаємо п'ять точок для побудови правильного п'ятикутника (рис. 2.3). З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями і отримуємо пентаграму. Всі діагоналі п'ятикутника ділять одна одну на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожний трикутник п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а бічна сторона, ділиться у відношенні золотого перерізу [3, с. 29].

Ще однією із «золотих» фігур є золотий кубоїд – це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1,618; 1 і 0,618 (рис. 2.4) [11].

Рис. 2.4

Спіраль Архімеда.

Послідовно відтинаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, кожного разу поєднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Його зацікавила спіральна форма ракушки (рис. 2.5).

У даний час спіраль Архімеда широко використовується в техніці [5,.с..66].

Рис. 2.5

2.3. Золотий переріз у задачах

Тепер розглянемо застосування золотого перерізу:

Задача1. (золотий прямокутник) Чи існує прямокутник, який можна розрізати на дві частини, одна з яких є квадратом, а інша – прямокутником, подібним даному?

Рис. 2.6

Розв’язання. Очевидно, що для того щоб прямокутник був розрізаний на два прямокутника, лінія перерізу повинна бути паралельна до його сторони. Нехай даний прямокутник розрізали прямою так, щоб утворився квадрат і прямокутник (рис. 2.6). Тоді умова подібності прямокутника і запишеться у вигляді:

Враховуючи, що , отримуємо відношення (1), а це означає, що точка поділяє відрізок в крайньому і середньому відношенні. Тому такий прямокутник існує, і відношення його сторін рівне золотому перерізу. Такий прямокутник називають золотим прямокутником [2, с. 30].

Задача 2. Чи існує рівнобедрений трикутник, який можна розрізати на два різні рівнобедрені трикутники, один з який подібний даному?

Розв’язання. Позначимо початковий трикутник . Лінія перерізу, очевидно, повинна проходити через одну із його вершин. Нехай лінією перерізу буде відрізок , де – точка на стороні . Розглянемо окремо два випадки, коли – основа і коли. – бічна сторона трикутника.

Рис. 2.7

Нехай – основа, а – вершина рівнобедреного трикутника (рис..2.7). Нехай трикутник подібний трикутнику , а – не рівний даному рівнобедрений трикутник. Тоді , . Із подібності випливає

Замінюючи в чисельнику лівої частини і в знаменнику правої частини на , отримуємо відношення (1). А це означає, що точка ділить відрізок у крайньому і середньому відношенні. Отже, шуканий рівнобедрений трикутник такий, що відношення його основи до бічної сторони дорівнює золотому перерізу.

Рис. 2.8

Тепер нехай основою трикутника є (рис. 2.8). Очевидно, що із двох частин подібним трикутнику . може бути тільки .

Маємо і . Із подібності випливає

Замінюючи на , знову отримуємо відношення (1). Отже, і в цьому випадку точка ділить відрізок у крайньому і середньому відношенні. У цьому трикутнику відношення сторони до основи дорівнює золотому перерізу.

Отже, ми знайшли два типи шуканих трикутників. В обох випадках відношення сторін такого трикутника дорівнює золотому перерізу. У другому випадку це відношення бічної сторони до основи, і трикутник виходить гострим, а в першому випадку – навпаки, золотому перерізу рівне відношення основи до бічної сторони, і в цьому випадку трикутник тупий. Кожний із двох типів золотих трикутників перерізається на два золотих трикутника різних типів [2,.с..31].

Приклади розв’язування інших задач, у яких використовується золотий переріз наведені в додатку А.

РОЗДІЛ 3

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ І СВІТ НАВКОЛО НАС

3.1. Золотий переріз у культурі та мистецтві

Золотий переріз у живописі.

Розглядаючи приклади золотого перерізу в живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадкових постатей в історії. Сам Леонардо да Вінчі казав: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды» [3, с. 23].

Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість і діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, нотатки, в яких йдеться «про все на світі».

Портрет Мони Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, які є частинами правильного зірчастого п'ятикутника (рис. 3.1) [12, с.9].

Рис. 3.1

Також пропорція золотого перерізу виявляється в картині Шишкіна. На ній проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (що стоїть на першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни – освітлений сонцем пагорб. Він ділить по золотому перерізу праву частину картини по горизонталі (рис. 3.2).

Рис. 3.2

У картині Рафаеля «Побиття немовлят» проглядається інший елемент золотої пропорції – золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від ключового центру композиції – точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини – вздовж фігур дитини, жінки, що притискає його до себе, воїна з занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи в правій частині ескізу. Невідомо, чи будував Рафаель золоту спіраль чи відчував її (рис. 3.3) [5, с. 70].

Рис. 3.3

Золотий переріз у скульптурі.

Відомо, що ще в давнину основу скульптури становила теорія пропорцій. Відношення частин людського тіла пов'язувалися з формулою золотого перерізу. Пропорції золотого перерізу створюють враження гармонії краси, тому скульптори використовували їх у своїх творах.

Скульптори стверджують, що талія ділить людське тіло відносно золотого перерізу. Так, наприклад, знаменита статуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що діляться за золотими пропорціями (додаток Б).

Великий давньогрецький скульптор Фідій часто використовував золотий переріз у своїх творах. Найзнаменитішою з них була статуя Зевса Олімпійського (рис. 3.4) [3, с. 67].

Рис. 3.4

Вимірювання декількох тисяч людських тіл дозволили виявити, що для дорослих чоловіків це відношення дорівнює 1,625, а для дорослих жінок воно становить 1,6. Так що пропорції чоловіків ближче до золотого перерізу, ніж пропорції жінок. Було проведено велику кількість вимірювань на вміщених у журналах великих портретах чоловіків і жінок, на багатьох із них зазначені відношення є золотим перерізом [4].

Золотий переріз в архітектурі.

У книгах про золотий переріз можна знайти зауваження про те, що в архітектурі, як і в живописі, все залежить від положення спостерігача. Золотий переріз дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин. Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е).

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. Відношення висоти будівлі до його довжини рівне 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенона по золотому перерізу, то отримаємо ті чи інші виступи фасаду (рис. 3.5).

Розміри Парфенона добре вивчені, але наведені вимірювання не завжди однозначні. Слід врахувати, про що сказано нижче, що геометрія архітектури храму дуже непроста – в ній майже відсутні прямі лінії, тому визначення розмірів ускладнено. Відомо, що фасад Парфенона вписаний у прямокутник зі сторонами 1:2, а план утворює прямокутник зі сторонами 1 та . Відомо, що діагональ прямокутника 1:2 має розмір , отже, прямокутник фасаду і є вихідним у побудові геометрії Парфенона [13, с. 29].