Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………...3

1 Постулаты построений (аксиомы построения)………………………………..5

   1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии……………………………...5

  1.2 Аксиома построения одним циркулем…………………………………….8

2 Задачи  на построение с помощью циркуля  и линейки……………………….9

   2.1 Понятие задачи на построение……………………………………………..9

   2.2 Схема решения задач на построение……………………………………..13

3 Теорема Мора – Маскерони…………………………………………………..15

4 Инверсия и ее основные свойства…………………………………………….19

5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем…………..23

Заключение……………………………………………………………………….28

Список  использованной литературы…………………………………………...29  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

    Геометрические  построения являются существенным фактором математического образования; они  представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.

    Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки.

    Геометрические  построения могут сыграть серьезную  роль в математической подготовке школьника, поэтому данная тема является важной для учителя математики. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия им учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков. К сожалению, данный раздел геометрии не входит в программу курса геометрии вуза и изучается только факультативно.

    Объектом  исследования в моей курсовой работе являются геометрические построения различными средствами.

    Предметом исследования являются геометрические построения с помощью одного циркуля.

      Цель моей курсовой работы  – изучить геометрические построения  одним циркулем.

    Для достижения заданной цели были поставлены следующие задачи:

  –    проанализировать    литературу,    посвященную геометрическим 

        построениям на плоскости;

–    рассмотреть доказательство теоремы Мора – Маскерони;

–    изучить метод инверсии в геометрии циркуля;

–    подобрать и решить геометрические задачи на построение одним

      циркулем.

      Работа состоит из введения, шести разделов и заключения.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 Постулаты построений (аксиомы построения). 

1. Общие аксиомы конструктивной геометрии.

    Основные  требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертежной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдём к рассмотрению этих ocнoвныx положений (аксиом) теории геометрических построений.

    Если   о   какой – либо фигуре сказано,   что   она дана,   то   при   этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена.

    Заметим, что не следует смешивать понятия  «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными  её элементами». В последнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые  её элементы, которые определяют наложение этой фигуры. Например, если даны две точки прямая, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т. е. эта прямая определена двумя точками, т.е. эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая эта построена. Точно так же центр О и точка А на окружности определяют эту окружность по величине и положению, но если сказано только, что даны точки О и А, то ещё не следует считать (в том смысле, как это понимается в конструктивная геометрия), что дана сама окружность.

    Представим  себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1.1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА.

Рисунок 1.1 

Точно так же, если построен луч АМ некоторой  прямой (рис. 1.2),а затем луч BN той же прямой, то, считается, что построена прямая MN, являющаяся соединением этих лучей.

Рисунок 1.2 

Если  построены три отрезка АВ, ВС и  СА. то нет надобности строить что-либо еще, чтобы построить треугольник  АВС. Эти примеры разъясняют смысл  следующего постулата:

II. Если построены  две (или более)  фигуры, то построено  и соединение этих  фигур.

    Представим  себе, что построены два отрезка  одной прямой: АВ и CD. Естественно, считается  возможным ответить на вопрос, принадлежит  ли отрезок CD целиком отрезку АВ (рис. 1.3) или нет (рис. 1.4).  

                                     Рисунок 1.3                 Рисунок 1.4 

    Если  построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет. А так как фигура Ф1, является частью фигуры Ф2 в том и только в том случае, когда разность Ф1/ Ф2 представляет собой пустое множество, то третье основное требование теории геометрических построений можно выразить в следующей форме:

III. Если построены  две фигуры, то  можно установить, является ли их  разность пустым  множеством или  нет.

    Пусть А, В, С, D - 4 точки прямой (рис. 1.5). Допустим, что отрезки АС и BD построены. Тогда будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВО, так и отрезок СD, , который является разностью отрезков BD и АС. Другой пример: если построена окружность и на ней точка, то мы считаем построенной также ту фигуру, которая останется если   из   окружности удалить     эту   точку,  т. е.   считаем  построенной разность  между  окружностью  и  точкой.

Рисунок 1.5 

IV. Если разность  двух построенных  фигур не является  пустым  множеством, то эта разность  построена. 

    Построив  две прямые, мы всегда считаем возможным  сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным  установить (по чертежу), имеют ли они  общие точки. Это же относится  к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

V. Еcли две фигуры  построены, то  можно установить, является ли их пepeсeчeниe пустым множеством или нет.

    С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

    Обратимся еще раз к рисунку 1.5. Пусть известно, что построены отрезки АС и BD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок BС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения выражаются cлeдующим образом:

VI. Еcли пepeceчениe двух  построенных фигур  не пусто, то  оно пocтpoeнo.

    В следующих трех основных требованиях  говорится о возможностях построения отдельных точек.

VII. Можно пocтpoить  любое конечное  число общих постpoeнных  фигур, если такие  точки существуют.

VIII. Можно пocтроить  точку, заведомo  принадлежащую построенной  фигуре.

IX. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре. Требования I–IX называют общими аксиомами конструктивной геометрии.  

2. Аксиома построения одним циркулем.

    Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или  иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертежных инструментов, которые используются для геометрических построений.

    Наиболее  употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие. Перейдем к формулировке аксиомы циркуля:

Циркуль позволяет выполнить следующие  геометрические построения:

а) построить  окружность, если построены центр  окружности и отрезок, равный радиусу  окружности (или его концы).

б) построить  любую из двух  дополнительных дуг  окружности, если построены центр  окружности и концы этих дуг. 

2 Задачи на построение  с помощью циркуля  и линейки. 

2.1 Понятие задачи на построение.

    Задача  на построение состоит в том, что  требуется построить наперед  указанными инструментами некоторую  фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения  между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

    Каждая  фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

    Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет  уже считаться построенной в  силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а следовательно и  ход решения задачи, существенно  зависит от того, какие  именно инструменты  употребляются для построения.

    Во  всякой задаче на построение требуется  по каким-либо данным фигурам построить  искомую фигуру, удовлетворяющую  тем или иным условиям. При этом указывается (т. е. формулируется явно или подразумевается), с помощью  каких чертежных инструментов следует выполнить построение искомой фигуры. Здесь могут представиться различные комбинации из следующих инструментов: линейка, угольник, транспортир, циркуль с данным раствором, линейка с параллельными краями и др. В школьном курсе геометрии обычно рассматриваются задачи на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому в дальнейшем всюду, где не оговорено противное, предполагается, что все построения должны быть выполнены с помощью этих инструментов.

    Предполагается, что линейка как инструмент геометрических построений не имеет масштабных делений  и с ее помощью можно провести прямую, проходящую через две данные или построенные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. С помощью циркуля как инструмента геометрических построений можно описать окружность с центром в данной или построенной точке и радиусом, равным данному или построенному отрезку.

      Выберем в пространстве некоторую  плоскость и назовем ее основной  плоскостью. Будем предполагать, что  все рассматриваемые геометрические фигуры лежат в этой плоскости. Точки, прямые и окружности основной плоскости играют особую роль в задачах на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому их, мы называем основными фигурами. Кроме основных фигур, нас будут интересовать также другие простейшие фигуры: отрезки, лучи, углы, полуплоскости, многоугольники и дуги окружностей. Заметим, однако, что каждая из этих фигур определяется заданием точек, прямых или окружностей. Например, отрезок АВ определяется точками А и В и прямой АВ. Луч определяется началом луча (т. е. точкой), прямой, которой он принадлежит, и некоторой его точкой. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что во всякой геометрической задаче на построение требуется по каким-то данным основным фигурам построить другие основные фигуры (точки, прямые или окружности).

    Точки и прямые, как обычно, будем обозначать соответственно прописными и строчными  буквами латинского алфавита (А, В, С, … , а, b, р, l). В дополнение к обычным  обозначениям для отрезков и углов (АВ, CD, ВОА, A ...  будем применять также следующие обозначения отрезки - а, b, с, ... , их длины соответственно а, b, с, ... ; углы φ, ψ,  их градусные меры соответственно φ, ψ. Отметим, наконец, что окружности обозначаем, как обычно, через (О, г), (М, АВ) или в отдельных случаях буквами γ и ω. Для того чтобы в общем виде сформулировать постановку задачи на построение, введем следующие соглашения. Будем считать, что при формулировке и решении каждой конкретной задачи на построение по определенному правилу выделяется некоторое множество Ω основных фигур (т. е. точек, прямых и окружностей), каждый элемент которого называется построенной фигурой. Каждая прямая или окружность множества Ω  рассматривается как единый объект - элемент множества. Например, если γ - построенная окружность, то отсюда не вытекает, что все точки окружности построены, более того, мы не предполагаем даже, что центр окружности  γ является построенной точкой. Конечно, отдельные точки этой окружности как самостоятельные фигуры могут быть построенными, но это должно быть оговорено условиями задачи или получено процессом построения.

    Мы  предполагаем, что введенное неопределяемое понятие построенной основной фигуры удовлетворяет следующим двум требованиям:

а) точки, прямые и окружности, заданные условиями задачи на построение, принадлежат множеству Ω, т.е. считаются построенными фигурами. Множество  Ω  заданных основных фигур конечно;

 б) существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построенной прямой или окружности существуют по крайней мере две построенные точки.

    Будем считать далее, что имеются некоторые  операции, которые позволяют присоединять к множеству Ω новые точки, прямые и окружности. Каждую такую  операцию будем называть, шагом построения. Постулаты построений - утверждения, в которых указано, какие шаги построения мы считаем выполнимыми.

    Cформулируем  в общем виде постановку задачи на построение. Дано конечное множество основных построенных фигур F1, F2, ..., Fk и описано свойство, характеризующее искомую непостроенную основную фигуру Ф. Требуется, используя постулаты П1 – П5, получить конечное множество основных построенных фигур, содержащее фигуру Ф.

    Отметим, что в этом определении существенно  предполагается, что число выполняемых  шагов построения конечно.

      При решении задач на построение  часто приходится «произвольно выбирать» промежуточные точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие построенным прямым, окружностям, а также отрезкам и лучам. Возможность выбора промежуточных построенных точек, принадлежащих построенным прямым или окружностям, обеспечено требованием (б). Возможность выбора точек, не принадлежащих построенным прямым и окружностям, можно обосновать с помощью постулатов П1- П5 построений.

    Решить  задачу на построение с помощью циркуля - это значит свести ее к последовательному выполнению множества простейших построений П1-П5.

П1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки.

П2. Построение окружности с центром в построенной точке и с радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках.

П3.  Построение точки пересечения двух непараллельных построенных прямых.

П4. Построение точек пересечения построенной  окружности и построенной прямой, если они пересекаются.

П5. Построение точек пересечения двух построенных  окружностей, если они пересекаются.

      Однако на практике расчленение  каждой задачи на простейшие  построения нецелесообразно. Обычно  сводят пocтpoение искомой фигуры  не к самим простейшим построениям  П1-П5, а к некоторым типичным, часто  встречающимся комбинациям простейших  построений, которые называются  основными построениями. 

2.2 Схема решения задач на построение.

    Обычно  при решении задач на построение пользуются схемой, которая состоит в следующем. Решение задачи расчленяют на четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование. Ниже дано краткое описание каждой из этих частей.

    Анализ или поиск решения задачи состоит в установлении зависимостей между данными фигурами и искомой фигурой с целью нахождения способа решения задачи.

    Для проведения анализа задачу предполагают решенной и выполняют «от руки» чертеж, изображающий искомую и данные фигуры. Затем изучают искомую фигуру и ее связи с данными задачи, пока не станет ясна последовательность построений, ведущая к решению. В ряде случаев целесообразно выделить точку, прямую или отрезок (так называемый основной' элемент построения), построение которого приводит к построению искомой фигуры.

    Построение состоит в последовательном перечислении тех построений (простейших и основных), которые надо выполнить для решения задачи. При этом выполняется чертеж, т. е. фактически  осуществляется шаг за шагом построение искомой фигуры с помощью циркуля и линейки.

    Доказательство  состоит в том, чтобы установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям, поставленным в задаче. В ряде случаев доказательство непосредственно усматривается из хода построения.

    Исследование состоит в том, чтобы ответить на вопросы: 1) При всяком ли выборе данных задача имеет решение, т. е. искомую фигуру можно построить циркулем и линейкой? 2) Сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных?

    Для определения числа решений различают  два типа задач на построение. Первый тип составляют задачи, в которых требуется определить положение искомой фигуры относительно некоторых из данных фигур. В этом случае две фигуры, удовлетворяющие условиям задачи и отличающиеся своим положением относительно данных фигур, считаются различными, если даже они равны друг другу.

    Второй  тип составляют задачи, в которых положение искомой фигуры по отношению к данным не играет роли. Другими словами, если F1, F2 , …, Fk данные фигуры, а Ф - искомая фигура, то при любом движении основной плоскости образ Ф' фигуры Ф также будет решением задачи по отношению к данным фигурам F1, F2, …, Fk . В этом случае все равные друг другу фигуры, каждая из которых удовлетворяет условиям задачи, считаются как одно решение. Примером этого типа задач является задача построения треугольника по трем сторонам.

    Задача. Построить треугольник стороны которого соответственно равны данным отрезкам а, b и с.

    Решение. Проведем какую-нибудь прямую и отложим  отрезок АВ, равный отрезку с. Далее  построим две окружности (А, b) и (В, а). Пусть С - одна из точек пересечения  этих окружностей. Соединив точки А, С и В, С отрезками, получим искомый треугольник АВС. Возникает вопрос: при любых ли заданных отрезках а, b и с задача имеет решение? Докажем, что если c а и c b, то треугольник АВС, удовлетворяющий условиям: АВ = с, ВС = а, СА = b , можно построить тогда и только тогда, когда с < а+b (1). В самом деле, если треугольник АВС, удовлетворяющий условиям задачи, построен, то по неравенству треугольника АВ < АС + ВС. Отсюда следует, что выполняется равенство (1). Обратно, пусть для отрезков а, b и с выполняются неравенства: с а, с b и с < а + b (2)

    Докажем, что треугольник АВС, удовлетворяющий  условиям задачи, можно построить. По построению АВ = с, поэтому АВ <  а + b. Но, с другой стороны, если, например, a b, то из нeравенств с а, с b cледует, что с > а – b и АВ > a – b. Таким образом, окружности (А, b) и (В, а) пересекаются  в двух точках С и C΄. Легко видеть, что точки А, В и С не лежат на одной прямой. Таким образом, отрезки АВ и ВС и СА образуют треугольник.

    Ясно, что можно построить бесконечное  множество треугольников, стороны  которых соответственно равны данным отрезкам. Но любые два из них paвны  по трем сторонам, поэтому мы считаем, что если данная задача на построение имеет решение, то она имеет только одно решение. 

3 Теорема Мора-Маскерони. 

      Никакая задача, где требуется  провести какую-либо прямую, не  может быть решена исключительно  циркулем: искомая прямая не может  быть в действительности проведена,  если разрешено употреблять только  циркуль. Но положение  прямой  на плоскости определяется любыми  двумя ее точками. Поэтому естественно  считать, что  прямая в известном  смысле уже найдена, как только  удалось построить две ее точки.  Круг задач, разрешимых с помощью циркуля, при такой постановке вопроса значительно расширяется. Например, циркуль позволяет разделить пополам данный угол или найти перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку, т.к. в этих задачах линейка  употребляется только для выполнения последней операции – для вычерчивания прямой.   

    Мор (в 1672 г), а затем ( в 1797 г) Маскерони пришли к выводу, что все геометрические задачи на построение, решаемые при свободном пользовании циркулем и линейкой, могут быть решены исключительно циркулем.

    Теорема Мора-Маскерони: Любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля. При этом имеется ввиду, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, окружностей и их дуг, прямых, отрезков и лучей. Условимся называть прямую известной, если построены какие-либо две ее точки. Отрезок назовем известным, если построены  его концы, а луч - если построены его начало  и какая-либо принадлежащая ему точка. Ясно, что «известная» прямая не является построенной: она может быть построена, если мы располагаем линейкой, но циркуль не дает возможности построить «известную» прямую. Построение фигуры Ф с помощью циркуля и линейки состоит в том, что устанавливается конечная последовательность основных (для циркуля и линейки), построений  в результате  выполнения которых будет построена фигура Ф.

    Решая задачу с помощью циркуля и линейки, мы получаем точки лишь при выполнении следующих построений:

(1) Построение точки пересечения двух известных прямых (которые для этого предварительно строятся).

(2) Построение общих точек построенной окружности и известной прямой (для чего эта известная прямая строится на одном из предыдущих этапов построения)

(3) Построение общих точек двух построенных окружностей.

(4) Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной прямой (или известному лучу или известному отрезку), для чего эта прямая предварительно строится.

(5) Построение любого конечного числа точек, принадлежащих построенной окружности (или дуге окружности).

(6) Построение точки, заведомо не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей (или дуг окружностей) и известных прямых (для чего известные прямые предварительно строятся).

    Для выполнения построений (3) и  (5) достаточно располагать только циркулем. Остается доказать, что и другие построения также выполнимы исключительно  циркулем. Иными словами, мы должны доказать, что при наличии только циркуля можно выполнить следующие построения.