Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло

ЗМІСТ

ВСТУП

Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло.
Приклад застосування методу імітаційного моделювання – Монте-Карло.

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Одним з головних напрямів розвитку економіки України, а також вітчизняної науки і техніки є впровадження засобів інформатики і автоматизації в різні галузі суспільного виробництва, зокрема в проектування та управління виробництвом і технологічними процесами на базі використання сучасної високопродуктивної обчислювальної техніки і нової інформаційної технології. Широкий розвиток комп’ютеризації як самого виробництва, так і управління ним неможливий без застосування ефективних наукових методів аналізу й оптимізації складних економіко-організаційних систем. Адже завдяки саме цим методам вдається в повному обсязі реалізувати колосальні потенційні можливості прогресивних технологій і передової техніки. Серед наукових методів, які застосовуються в економіці, науці і техніці, особливе місце займають методи моделювання.

Роль моделювання як методу наукового пізнання та методу рішення технічних завдань завжди оцінювалася достатньо високо. Однак в умовах прискорення науково-технічного прогресу, при потребах досягнення високої ефективності з використанням обмежених матеріальних, трудових, енергетичних та часових ресурсів моделювання набуває особливого значення.

Напрямок застосування математичних методів та засобів імовірнісних досліджень є одним із важливих та ефективних факторів розвитку сучасної обчислювальної техніки і має прикладне значення при реалізації системних функцій перетворення форми та цифрової обробки інформації. Зокрема, генератори випадкових чисел із заданими статистичними параметрами застосовуються для статистичного моделювання, зокрема на основі методу Монте-Карло, в криптографії, захисті інформації тощо. Незважаючи на значну кількість відомих методів генерування випадкових чисел, їх практичне застосування в засобах перетворення форми та цифрової обробки інформації обмежується складністю реалізації таких генераторів та значними коштами їх виготовлення. Крім того, для більшості відомих методів генерування не здійснено дослідження статистичних характеристик випадкових розподілів, алгоритмічної складності та складності програмної чи апаратної реалізації, що не дозволяє обґрунтувати ефективність їх практичного використання і визначає актуальність проведення досліджень по розробці методів та засобів генерування, які б володіли конкурентноздатними техніко-економічними характеристиками та забезпечували необхідну якість рівномірності розподілу генерованих послідовностей.

Отже, тема набуває актуальності у зв’язку з необхідністю вдосконалення існуючих та розробки нових методів моделювання.

Мета заняття – набути практичних навичок з використання методу імітаційного моделювання при прогнозуванні економічних процесів, а саме за допомогою методу Монте-Карло. Засвоїти суть використання моделювання в економіці. Сформувати систему теоретичних та практичних знань з основ створення та застосування імітаційного моделювання в економічних дослідженнях, закріпити, розширити й поглибити здобуті знання.

Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло.

Імітаційне моделювання — це метод, що дозволяє будувати моделі процесів, що описують, як ці процеси проходили б насправді. Таку модель можна «програти» в часі як для одного випробування, так і заданої їх кількості. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати достатньо стійку статистику.

Імітація як метод розв'язування нетривіальних задач отримала початковий розвиток у зв'язку із створенням ЕОМ в 1950-х — 1960-х роках.

У широкому розумінні імітаційне моделювання — це метод дослідження, заснований на тому, що система, яка вивчається, замінюється імітатором і з ним проводяться експерименти з метою отримання інформації про цю систему. Експериментування з імітатором називають імітацією (імітація — це збагнення суті явища, не вдаючись до експериментів на реальному об'єкті). А у вузькому розумінні імітаційне моделювання — це відтворення на ЕОМ реальної виробничої чи організаційної системи. За такого тлумачення термін «імітаційне моделювання» має той самий сенс, що й «машинна імітація» або «машинне моделювання» (останні терміни відповідають експериментальному методу вивчення економіки за допомогою ЕОМ).

Слід підкреслити, що стандартного терміну цього напряму моделювання не існує. В англомовній літературі здебільшого використовуються такі терміни: computer simulation (комп’ютерне моделювання), systems simulation (системне моделювання), digital simulation (цифрове моделювання). У вітчизняній літературі розповсюджені терміни «машинна імітація», «машинне моделювання», «імітаційне моделювання».

Імітаційне моделювання застосовується до процесів, в хід яких може час від часу втручатися людська воля. Людина, що керує операцією, може в залежності від сформованої ситуації, приймати ті чи інші рішення, подібно тому, як шахіст, дивлячись на дошку, вибирає свій черговий хід. Потім приводиться в дію математична модель, яка показує, яка очікується зміна обстановки у відповідь на це рішення і до яких наслідків воно приведе через деякий час. Наступне «поточне рішення» приймається вже з урахуванням реальної нової обстановки і т.д. У результаті багаторазового повторення такої процедури керівник як би «набирає досвід», вчиться на своїх і чужих помилках і поступово вчиться приймати правильні рішення – якщо не оптимальні, то майже оптимальні.

Можна виділити два різновиди імітації:

метод Монте-Карло (метод статистичних випробувань);
метод імітаційного моделювання (статистичне моделювання).

Ми розглянемо тільки один різновид імітації – метод Монте-Карло.

Датою народження методу Монте-Карло прийнято вважати 1949 р., коли з'явилася стаття під назвою «The Monte Carlo method». Творцями цього методу вважають американських математиків Дж. Неймана і С. Улама. У СРСР перші статті про метод Монте-Карло були опубліковані в 1955-1956рр.

Цікаво, що теоретична основа методу була відома давно. Більш того, деякі завдання статистики розраховувалися іноді за допомогою випадкових вибірок, тобто фактично методом Монте-Карло. Проте до появи електронних обчислювальних машин (ЕОМ) цей метод не міг знайти широкого застосування, бо моделювати випадкові величини вручну – дуже трудомістка робота. Таким чином, виникнення методу Монте-Карло як вельми універсального чисельного методу стало можливим тільки завдяки появі ЕОМ.

Цей метод (як і вся теорія ймовірностей) виріс зі спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло – столиця європейського грального бізнесу.

Ідея методу надзвичайно проста і полягає вона в наступному. Замість того, щоб описувати процес за допомогою аналітичного апарату (диференціальних або алгебраїчних рівнянь), проводиться «розіграш» випадкового явища за допомогою спеціально організованої процедури, що включає в себе випадковість і дає випадковий результат. Насправді конкретне здійснення випадкового процесу складається щоразу по-іншому, і так само і в результаті статистичного моделювання ми отримуємо кожного разу нову, відмінну від інших реалізацію досліджуваного процесу. Що вона може нам дати? Сама по собі нічого, так само як, скажімо, один випадок лікування хворого за допомогою яких-небудь лік. Інша справа, якщо таких реалізацій отримано багато. Це безліч реалізацій можна використовувати як якийсь штучно отриманий статистичний матеріал, який може бути оброблений звичайними методами математичної статистики. Після такої обробки можуть бути отримані будь-які питання, що цікавлять нас, характеристики: ймовірності подій, математичні сподівання і дисперсії випадкових величин і т. д. При моделюванні випадкових явищ методом Монте-Карло ми користуємося самої випадковістю як апаратом дослідження, змушуємо її «працювати на нас».

По суті, методом Монте-Карло може бути вирішене будь-яке ймовірне завдання, але виправданим він стає лише тоді, коли процедура розіграшу простіше, а не складніше аналітичного розрахунку.

Дві особливості методу Монте-Карло: 1) проста структура обчислювального алгоритму; 2) похибка обчислень, як правило, пропорційна D/N2, де D – деяка постійна, N – число випробувань. Звідси видно, що для того, щоб зменшити похибку в 10 разів (інакше кажучи, щоб отримати у відповіді ще один вірний десятковий знак), потрібно збільшити N (тобто обсяг роботи) в 100 разів.

Ясно, що домогтися високої точності таким шляхом неможливо. Тому зазвичай говорять, що метод Монте-Карло особливо ефективний при вирішенні тих завдань, в яких результат потрібен з невеликою точністю (5–10%).

Отже, метод Монте-Карло визначають, як загальну назву групи числових методів, основаних на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується. Це метод перебору різних варіантів рішень але при якому варіанти перебираються не всі і кожний варіант вибирається випадковим числом по жеребкуванню. Як правило, передбачається, що моделювання здійснюється за допомогою електронних обчислювальних машин, хоча у деяких випадках можна досягти успіху, використовуючи пристосування типу рулетка, олівці та папір.

Даний метод використовується для вирішення задач у фізиці, математиці, економіці, оптимізації, теорії управління та прогнозування.

Як вже було сказано, це метод імітації для приблизного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілювання ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи дані, а також максимізувати значення даних, які використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.

Приклад застосування методу імітаційного моделювання – Монте-Карло.

Прогнозування за допомогою імітаційного моделювання розглянемо на простому прикладі ілюстративного характеру. Міркування щодо певних дій з моделювання будемо надавати в процесі рішення у вигляді коментарів.

Умова виконання роботи: керівництво підприємства стільникового зв’язку вирішує питання щодо інвестування на розширення мережі зв’язку капіталу на суму І₀ = 100000 у.о. Термін інвестування n = 2 роки, очікувані грошові надходження (потоки) наприкінці обох років І₁=І₂=І = 60000 у.о. Ставка дисконту r точно невідома, але з попередніх досліджень можна припустити, що 5% £ r £ 15% і що закон розподілу цієї величини – рівномірний.

Треба визначити доцільність реалізації такого проекту за критерієм NPV (Net Present Value – чиста приведена вартість) методом Монте-Карло.

Розв’язок та коментарі:

1. За вказаним критерієм проект вважається доцільним, якщо NPV має позитивне значення. Якщо розглядаються кілька проектів, то виграє проект з більшим значенням NPV.

2. За суттю NPV є різницею між доходною частиною проекту та необхідними витратами на його реалізацію з урахуванням знецінення грошей під впливом часу.

3. Математично NPV має кілька виразів для обчислень, найпростіший з них виглядає як NPV = І_r І₀ , де І₀ - початкові інвестиції, І_r = .

4. В загальному випадку параметр r (норма дисконту, іноді просто дисконт) – зручна економічна абстракція, яка набуває певного сенсу в залежності від конкретної моделі. Так, в нашому прикладі r чисельно можна розглядати як величину, що пропорційна рівню інфляції. Чим r більше, тим вартість майбутніх грошей порівняно з їх сьогоднішньою вартістю менше.

5. Хоча задача має більш просте рішення – наприклад, послідовно підставляти у вираз для NPV значення r від 5% до 15% з кроком, скажімо, 1% і таким чином визначити його максимально допустиме значення (в цьому випадку NPV»0 ), – застосування методу Монте-Карло дає змогу визначити так званий “гарантований” результат з певними імовірністю, рівнем помилки та урахуванням СКВ. При прогнозуванні такий підхід може виглядати більш привабливим.

6. Оскільки початкові значення випадкової величини задаються, як правило, в інтервалі від 0 до 1, для визначення r в реальному діапазоні (від a до b) можна скористатися виразом r = a+(b – a)×x, де x - рівномірно розподілена випадкова величина в інтервалі від 0 до 1; a – мінімальна границя 5%; b – верхня границя 15%. Значення x знаходяться або з таблиці відповідного математичного довідника, або за допомогою генератора випадкових чисел (ГВЧ). Такий ГВЧ є, наприклад, в редакторі Excel (Функции – Статистические – Случайные – Равномерный закон).

Варіанти значень випадкових чисел (x_i ) в діапазоні від 0 до 1(варіант №7):

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
0,36	0,69	0,73	0,61	0,70	0,35	0,30	0,34	0,26	0,14	0,68	0,66	0,57	0,48

15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
0,18	0,90	0,55	0,35	0,75	0,48	0,35	0,80	0,83	0,42	0,82

Крок 1. Визначаємо норму дисконту (r = a+(b – a)×x) :

r = 0,05+(0,15 – 0,05)* 0,36 = 0,086; 14. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,48 = 0,098;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,69 = 0,119; 15. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,18 = 0,068;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,73 = 0,123; 16. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,9 = 0,14;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,61 = 0,111; 17. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,55 = 0,105;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,7 = 0,12; 18. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,35 = 0,085;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,35 = 0,085; 19. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,75 = 0,125;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,3 = 0,08; 20. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,48 = 0,098;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,34 = 0,084; 21. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,35 = 0,085;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,26 = 0,076; 22. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,8 = 0,13;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,14 = 0,064; 23. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,83 = 0,133;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,68 = 0,118; 24. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,42 = 0,092;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,66 = 0,116; 25. r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,82 = 0,132;
r = 0,05+(0,15 – 0,05)*0,57 = 0,107;

Крок 2. Знаходимо NPV для кожного з випробувань за формулою

NPV = І₀ :

NPV₁= = 100000 = 6122,117;
NPV₂= = 100000 = 1536,464;
NPV₃= = 100000 = 1004,735;
NPV₄= = 100000 = 2615,122;
NPV₅= = 100000 = 1403,062;
NPV₆= = 100000 = 6266,856;
NPV₇= = 100000 = 6995,885;
NPV₈= = 100000 = 6411,95;
NPV₉= = 100000 = 7585,578;
NPV₁₀= = 100000 = 9390,016;
NPV₁₁= = 100000 = 1670,182;
NPV₁₂= = 100000 = 1938,567;
NPV₁₃= = 100000 = 3162,188;
NPV₁₄= = 100000 = 4412,394;
NPV₁₅= = 100000 = 8782,561;
NPV₁₆= = 100000 = 1200,369;
NPV₁₇= = 100000 = 3437,686;
NPV₁₈= = 100000 = 6266,856;
NPV₁₉= = 100000 = 740,74;
NPV₂₀= = 100000 = 4412,394;
NPV₂₁= = 100000 = 6266,856;
NPV₂₂= = 100000 = 86,146;
NPV₂₃= = 100000 = 302,955;
NPV₂₄= = 100000 = 5261,039;
NPV₂₅= = 100000 = 173,556;

Крок 3.Розраховуємо середнє значення NPV за формулою:

NPV_сер = = = 3763,701;

Крок 4. Далі визначаємо середньоквадратичне відхилення за формулою: = , але для полегшення розрахунків спочатку визначимо квадрат різниці між кожним значенням NPV та їх середнім значенням:

= 5562126,029 ; 14. = 420802,608;
= 4960584,654; 15. = 25188955,7;
= 7611893,389 ; 16. = 24641990,96;
= 1319233,719; 17. = 106285,78;
= 5572616,488; 18. = 6265784,954;
= 6265784,954 ; 19. = 9138293,208;
= 10447013,41; 20. = 420291,593;
= 7013222,766; 21. = 6265784,954;
= 14606743,8; 22. = 13524410,78;
= 31655420,48; 23. = 16537691,02;
= 4382805,055; 24. = 2242021,086;
= 3331117,768; 25. = 15501992,68;
= 361820,295;

З отриманих результатів маємо: = = = 622,697;

7. За умовою задачі маємо кількість випробувань n = 25. Після обчислень усіх 25 значень NPV, визначення їх середнього значення NPV_сер. (приблизно 3763,701 у.о.) та СКВ (приблизно 622,697 у.о.) маємо “гарантований” результат у вигляді :

NPV_{гарант.} = NPV_сер. ;

NPV_{гарант.} = 3763,701 622,697 = 3050,578 у.о.

Отже, після проведення всіх розрахунків, а саме визначення ЧПВ (чистої приведеної вартості) по кожному з випробувань, визначення середнього ЧПВ, СКВ та ЧПВ_{гарант.} можна зробити наступні висновки, що з прийнятними для практики ризиком та помилкою обчислень порядка 5% розглянутий інвестиційний проект можна вважати доцільним для впровадження у підприємство.

Оговоримо, що кінцева кількісна оцінка носить все-таки орієнтовний характер. Але більш точніших результатів можна досягти при проведенні більшої кількості випробувань або ж для більш точних розрахунків треба скористатися відповідними положеннями з „Теорії імовірності та математичної статистики ”.

ВИСНОВОК

Отже, у сучасній літературі не існує єдиної точки зору з питання про те, що розуміти під імітаційним моделюванням. Так існують різні трактування:

- під імітаційної моделлю розуміється математична модель у класичному змісті;

- цей термін зберігається лише за тими моделями, в яких тим чи іншим способом розігруються (імітуються) випадкові впливи;

- припускають, що імітаційна модель відрізняється від звичайної математичної більш детальним описом, але критерій, за яким можна сказати, коли кінчається математична модель і починається імітаційна, не вводиться;

В свою чергу, метод Монте-Карло, як різновид імітаційного моделювання — це сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори (випадкові події, випадкові величини з довільним розподілом, випадкові вектори тощо). У межах цього підходу будується ймовірнісна модель, яка відповідає математичній чи фізичній задачі, і на ній реалізується випадкова вибірка. «Розігрування» вибірок за методом Монте-Карло є основним принципом імітаційного моделювання систем із стохастичними (випадковими, імовірними) елементами.

Незважаючи на свої переваги, метод Монте-Карло не поширений і не використовується дуже широко в бізнесі. Одна з головних причин цього - невизначеність функцій щільності змінних, які використовуються при підрахунку потоків готівки.

Інша проблема, яка виникає при використанні методу Монте-Карло, полягає в тому, що застосування цього методу не дає однозначної відповіді на питання про те, чи потрібно реалізовувати даний проект або потрібно відкинути його.

При завершенні аналізу, проведеного методом Монте-Карло, у експерта є значення очікуваної чистої приведеної вартості проекту і щільність розподілу цієї випадкової величини. Однак наявність цих даних не забезпечує аналітика інформацією про те, чи дійсно прибутковість проекту досить велика, щоб компенсувати ризик по проекту, оцінений стандартним відхиленням і коефіцієнтом варіації.

Ряд дослідників уникає використання даного методу в зв'язку з складністю побудови ймовірнісної моделі і множини обчислень, однак при коректності моделі метод дає вельми надійні результати, що дозволяють судити як про прибутковість проекту, так і про його стійкість (чутливість).

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

http://uk.wikipedia.org/wiki/імітаційне_моделювання
Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 1998. — С. 38—46.
Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. Минск.: Дизайн ПРО, 1997. С. 101—121.
Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1975. — С. 7—37.

Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло 📙 Реферат → 🆔 270330