Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками в первом возбужденном

Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками в первом возбужденном состоянии. Найдите среднее значение кинетической энергии частицы <Ek> , если ширина ямы равна а . Дано: m0 ; n = 2 ; a . <Ek> - ?

Left308610Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:
Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области : 
(1) 
или в виде:
(2)
где .
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид: 
(3)
Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как в области потенциальная энергия равняется бесконечности, то частица находиться в области не может. Следовательно, плотность вероятности, а, значит, и пси-функция в области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функции для точки получим: 
Аналогично, из условия непрерывности пси-функции для точки получим:
Тогда пси-функции собственных состояний частицы в данной потенциальной яме имеют вид: 
(4)
Учитывая, что , получим: 
(5)
Мы получили энергетический спектр частицы в потенциальной яме

. Определим постоянную в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки: 
= |a0 =
= A2·((0 + a/2) – 0) = a·A2/2 = 1 , т.е. А = √2/а (6)
Тогда пси-функции собственных состояний имеют следующий вид:
(7)
В первом возбуждённом состоянии n = 2, поэтому пси-функция первого возбуждённого состояния имеет вид:
Ψ2(x) = 2a·sinπa·2·x .(8)
Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:
 (9)
где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции