Дан закон распределения системы двух случайных величин (,) . Требуется: а) вычислить коэффициент корреляции и

Дан закон распределения системы двух случайных величин (,) . Требуется: а) вычислить коэффициент корреляции и проанализировать тесноту связи между и ; б) составить условный закон распределения случайной величины и найти условное математическое ожидание; в) составить уравнение прямой регрессии на и построить ее график.

А) Проверка: сумма всех вероятностей должна равняться единице:
0,20+0,10+0,01+0,02+0,20+0,10+0,03+0,14+0,20=1
Прибавляя строки и столбцы таблицы вероятностей, получим законы распределения соответственно и :
5 6 7
1 2 3
р 0,25 0,44 0,31
q 0,31 0,32 0,37

Вычислим числовые характеристики случайных величин и :
М()= 5 · 0,25 + 6 · 0,44 + 7 · 0,31 = 6,06
М() = 1 · 0,31 + 2 · 0,32 + 3 · 0,37 = 2,06
D()= 5 2 ∙ 0,25 + 6 2 ∙ 0,44 + 7 2 ∙ 0,31 – 6,06 2 = 0,5564
D()= 1 2 ∙ 0,31 + 2 2 ∙ 0,32 + 3 2 ∙ 0,37 – 2,06 2 = 0,6764
0,7459
0,8224
Вычисляем корреляционный момент случайных величин и .
= 1 · 5 · 0,2 + 1 · 6 · 0,1 + 1 · 7 · 0,01 +
+ 2 · 5 · 0,02 + 2 · 6 · 0,2 + 2 · 7 · 0,1 +
+ 3 · 5 · 0,03 + 3 · 6 · 0,14 + 3 · 7 · 0,2 –

– 6,06 · 2,06 = 0,3564

Вычисляем коэффициент корреляции по формуле :
= 0,5810.
Коэффициент корреляции отличен от нуля, поэтому случайные величины и зависимы

. Небольшая величина коэффициента корреляции говорит о том, что связь между случайными величинами скорее слабая, чем тесная.
б) составим условный закон распределения случайной величины и найдем условное математическое ожидание.
Найдем условный закон распределения .
Соответствующие условные вероятности находим так:
0,80
0,08
0,12
Полученные вероятности записываем в виде таблицы:
1 2 3
Р 0,80 0,08 0,12
Вычислим условное математические ожидания , пользуясь полученными рядами распределения:
= 1 · 0,80 + 2 · 0,08 + 3 · 0,12 = 1,32

2) Найдем условный закон распределения .
Соответствующие условные вероятности находим так:
0,227
0,455
0,318
Полученные вероятности записываем в виде таблицы:
  1 2 3
Р 0,227 0,455 0,318
Вычислим условное математические ожидания , пользуясь полученными рядами распределения:
= 1 · 0,227 + 2 · 0,455 + 3 · 0,318 = 2,09
3) Найдем условный закон распределения .
Соответствующие условные вероятности находим так:
0,032
0,323
0,645
Полученные вероятности записываем в виде таблицы:
  1 2 3
Р 0,032 0,323 0,645
Вычислим условное математические ожидания , пользуясь полученными рядами распределения:
= 1 · 0,032 + 2 · 0,323 + 3 · 0,645 = 2,61
в) составить уравнение прямой регрессии на и построить ее график.
Зависимость условного математического ожидания  называют функций (линией) регрессии Y на Х. 
В качестве оценок условных математических ожиданий принимают условные средние, которые находят по данным наблюдения, то есть по выборке.
Используем вычисленные условные математические ожидания:
  5 6 7
1,32 2,09 2,61
6, ,
, ,
Уравнение регрессии на имеет вид: