Даны координаты вершин пирамиды A13;1;1;A21;4;1;A31;1;7;A43;4;-1 Средствами векторной алгебры найти: 1) угол между ребрами A1A2 и А1 A3; 2)

Даны координаты вершин пирамиды A13;1;1;A21;4;1;A31;1;7;A43;4;-1 Средствами векторной алгебры найти: 1) угол между ребрами A1A2 и А1 A3; 2) площадь грани А1A2A3; 3) уравнение плоскости А1A2A3; 4) угол между ребром A1A4 и гранью А1A2A3; 5) уравнения прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости А1A2A3; 6) объём пирамиды

1) угол между ребрами A1A2 и А1 A3
Угол между ребрами A1A2 и A1A3 найдем по формуле
cosα=A1A2∙A1A3A1A2∙A1A3
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=1-3;4-1;1-1=-2;3;0;
A1A3=x2-x1;y2-y1;z2-z1=1-3;1-1;7-1=-2;0;6;
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12=(-2)2+32+02=
=13ед.;
A1A3=x2-x12+y2-y12+z2-z12=(-2)2+02+62=
=40=4∙10=210ед.;
cos∠A2A1A3=-2∙(-2)+3∙0+0∙613∙210=413∙210=2130≈0,1754
∠A2A1A4=arccos 0,1754≈1,39рад≈79,90
2) площадь грани А1A2A3
Грань A1A2A3- треугольник, его площадь вычислим по формуле
S=12a×b, где a×b-модуль векторного произведения двух векторов (сторон треугольника)
Найдем векторное произведение векторов
A1A2=-2;3;0;A1A3=-2;0;6
A1A2×A1A3=ijkx1y1z1x2y2z2=ijk-230-206=
=3006i--20-26j+-23-20k=
=3∙6-0i--2∙6-(-2)∙0j+-2∙0-(-2)∙3k=18i+12j+6k;
Результатом будет вектор с координатами18;12;6, найдем его длину
A1A2×A1A3=182+122+62=504=36∙14=614
S=12∙614=314ед.2≈11,22ед.2;
3) уравнение плоскости А1A2A3;
Уравнение плоскости, проходящей через точки A1;A2;A3:
x-xA1y-yA1z-zA1xA2-xA1yA2-yA1zA2-zA1xA3-xA1yA3-yA1zA3-zA1
x-3y-1z-11-34-11-11-31-17-1=x-3y-1z-1-230-206=
=x-33006-y-1-20-26+(z-1)-23-20=
=x-33∙6-0-y-1-2∙6--2∙0+z-1-2∙0--2∙3=
=18x-3+12y-1+6z-1=0
3x-3+2y-1+z-1=0
3x+2y+z-12=0- уравнение плоскости A1A2A3
4) угол между ребром A1A4 и гранью А1A2A3
A1A4=3-3;4-1;-1-1=0;3;-2
3x+2y+z-12=0- уравнение плоскости A1A2A3
Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты n3;2;1
Косинус угла между плоскостью и вектором равен синусу угла между этим вектором и вектором нормали.
sinα=3∙0+2∙3+1∙(-2)32+22+12∙02+32+(-2)2=414∙13≈0,2965
α≈0,3 рад≈17,250
5) уравнения прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости А1A2A3
Уравнения высоты А4H, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3, составим по точке A43;4;-1 и направляющему вектору n3;2;1 :
x-33=y-42=z-(-1)1;x-33=y-42=z+11
6) объём пирамиды
V=16A1A2×A1A3∙A1A4,
где A1A2×A1A3∙A1A4- смешанное произведение векторов
A1A2=-2;3;0;A1A3=-2;0;6;A1A4=0;3;-2
A1A2×A1A3∙A1A4=x1y1z1x2y2z2x3y3z3=-230-20603-2=
=-2063-2-3-260-2+0=-20∙-2-3∙6-3-2∙-2-0∙6=
=36-12=24
V=16∙24=4ед.3
Ответ: 1) ≈79,90;2) ≈11,22ед.2;3) 3x+2y+z-12=0;
4) ≈17,250;5) x-33=y-42=z+11;6) 4ед.3