Даны координаты вершин пирамиды ABCD : А-2;-1;-1, B0;3;2, C3;1;-4, D-4;7;3. 1) скалярное произведение векторов AB

Даны координаты вершин пирамиды ABCD : А-2;-1;-1, B0;3;2, C3;1;-4, D-4;7;3. 1) скалярное произведение векторов AB и AC; 2) векторное произведение векторов AB и AC; 3) косинус угла между векторами AB и AC; 4) a=3AB-2CD ; 5) алгебраическую проекцию вектора BC на вектор a ; 6) площадь грани АВС; 7) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Сделаем рисунок:
Рис. 1.
Найдем координаты векторов, которые используются в задаче по формуле:
AB=x2-x1; y2-y1; z2-z1.
AB=0--2; 3--1; 2--1=2;4;3;
AC=3--2;1--1; -4-(-1)=5;2; -3;
CD=-4-3;7-1;3-(-4)=-7;6;7;
BC=3-0;1-3; -4-2=3; -2; -6;
AD=-4--2;7--1;3-(-1)=-2;8;4 .
1) Скалярное произведение векторов AB и AC вычислим по формуле:
a, b=x1x2+y1y2+z1z2 .
AB, AC=2∙5+4∙2+3∙-3=10+8-9=9.
2) Векторное произведение векторов AB и AC найдем по формуле:
a, b=ijkx1y1z1x2y2z2.
AB,AC=ijk24352-3=i432-3-j235-3+k2452=
=i4∙-3-2∙3-j2∙-3-5∙3+k2∙2-5∙4=
=i-12-6-j-6-15+k4-20=-18i+21j-16k=-18;21; -16.
3) Косинус угла между векторами AB и AC найдем по формуле:
cosφ=a, ba∙b или cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12∙x22+y22+z22 ( где φ-угол между
векторами a и b ).
cosφ=AB, ACAB∙AC ;
cosφ=922+42+32∙52+22+-32=94+16+9∙25+4+9=929∙38=
=929∙38=91102=911021102 .
4) Найдем координаты вектора a=3AB-2CD.
3AB=3∙2;3∙4;3∙3=6;12; 9,
2CD=2∙-7;2∙6;2∙7=-14;12;14 , тогда
a=3AB-2CD=6--14;12-12; 9-14=20;0; -5 .
5) Алгебраическую проекцию вектора BC на вектор a найдем по формуле:
прba=a, bb или прba=x1x2+y1y2+z1z2x22+y22+z22