Даны координаты вершин пирамиды A13;-1;0, A2-1;1;-3, A31;-1;5, A41;0;2. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами

Даны координаты вершин пирамиды A13;-1;0, A2-1;1;-3, A31;-1;5, A41;0;2. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) проекцию ребра A1A3 на ребро A1A2; 4) площадь грани A1A2A3; 5) длину высоты грани A1A2A3, опущенной из вершины A3 на ребро A1A2; 6) объем пирамиды A1A2A3A4; 7) канонические уравнения прямой A1A3; 8) общее уравнение плоскости A1A2A3; 9) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 10) канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3, и длину этой высоты.

1) Длину ребра A1A2 найдем по формуле расстояния между двумя точками A1x1;y1;z1 и A2x2;y2;z2:
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12=
=-1-32+1--12+-3-02=16+4+9=29≈5,385.
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 найдем из формулы косинуса угла между двумя векторами:
cos∠A2A1A4=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4,
где A1A2∙A1A4-скалярное произведение векторов A1A2 и A1A4 .
Найдем длину вектора A1A4 по формуле расстояния между двумя точками:
A1A4=x4-x12+y4-y12+z4-z12=
=1-32+0--12+2-02=4+1+4=9=3.
Найдем координаты векторов A1A2 и A1A4:
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=-1-3;1--1;-3-0=
=-4;2;-3;
A1A4=x4-x1;y4-y1;z4-z1=1-3;0--1;2-0=-2;1;2.
cos∠A2A1A4=-4∙-2+2∙1-3∙229∙3=429∙3≈0,248⇒
∠A2A1A4=arccos0,248≈75,70.
3) Проекцию ребра A1A3 на ребро A1A2 найдем по формуле проекции вектора A1A3 на вектор A1A2 :
ПрA1A2A1A3=A1A2∙A1A3A1A2.
Найдем координаты вектора A1A4:
A1A3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=1-3;-1--1;5-0=-2;0;5.
ПрA1A2A1A3=-4∙-2+2∙0-3∙529=-729≈-1,3.
4) Площадь грани A1A2A3 найдем по формуле:
SA1A2A3=12A1A2∙A1A3sin∠A2A1A3.
Найдем координаты и длину вектора A1A3 по формуле расстояния между двумя точками:
A1A3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=1-3;-1--1;5-0=-2;0;5;
A1A3=x3-x12+y3-y12+z3-z12=
=1-32+-1--12+5-02=4+0+25=29.
Найдем косинус угла между векторами A1A2 и A1A3:
cos∠A2A1A3=-4∙-2+2∙0-3∙529∙29=-729≈-0,241⇒
sin∠A2A1A3=1-cos2∠A2A1A3=1--0,2412≈0,97.
S=1229∙29∙0,97≈14,071.
5) Найдем длину высоты грани A1A2A3, опущенной из вершины A3 на ребро A1A2

. Как известно, модуль векторного произведения векторов A1A2=-4;2;-3 и A1A3=-2;0;5 равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
S=A1A2×A1A3
A1A2×A1A3=ijk-42-3-205=разложим по первой строке=
=2-305i--4-3-25j+-42-20k=10i--20-6j+4k=10i--20-6j+4k=10i+26j+4k.
Тогда:
S=102+262+42=100+676+16=792.
С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны A1A2 на высоту h, проведенную к этой стороне:
S=A1A2h
В нашем случае высота h будет равна расстоянию от точки A3 до стороны A1A2:
h=SA1A2=79229≈5,226.
6) Найдем объем пирамиды A1A2A3A4, построенной на трех векторах: A1A2=-4;2;-3, A1A3=-2;0;5 и A1A4=-2;1;2 по формуле:
V=16xA1A2yA1A2zA1A2xA1A3yA1A3zA1A3xA1A4yA1A4zA1A4=16-42-3-205-212=
=162∙5∙-2-3∙1∙-2--4∙5∙1+2∙2∙-2=16-20+6+20+8=
=146.
7) Найдем канонические уравнения прямой A1A3;
x-x1x3-x1=y-y1y3-y1=z-z1z3-z1
x2-31-3=y2--1-1--1=z2-05-0⇒x2-3-2=y2--10=z2-05.
8) Общее уравнение плоскости A1A2A3 найдем из определителя;
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0⇒x-3y+1z-42-3-205=0.
Разложим определитель по 1 строке:
x-3y+1z-42-3-205=2-305∙x-3--4-3-25∙y+1+-42-20z=
=10x-3+26y+1+4z=10x-30+26y+26+4z.
10x+26y+4z=4⇒5x+13y+2z=2- уравнение плоскости A1A2A3.
9) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 найдем по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2∙l2+m2+n2, где
A=5,B=13, C=2-координаты вектора нормали к плоскости A1A2A3 5x+13y+2z=2