Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, D. Найти: канонические уравнения прямой AB; косинус угла между

Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, D. Найти: канонические уравнения прямой AB; косинус угла между ребрами AB и AD; общее уравнение плоскости ABC; синус угла между ребром AD и гранью ABC; площадь грани ABC; объем пирамиды. Дано: A-4;-4;1; B3;-2;-1; C-2;-1;-1; D-4;2;1.

1) Канонические уравнения прямой в общем виде имеет вид:
x-x0l=y-y0m=z-z0n
где x0, y0, z0 – координаты точки лежащей на прямой,
nl;m;n – направляющий вектор.
Находим уравнение прямой AB, проходящей через заданную точку A-4;-4;1 и с направляющим вектором nl;m;n=n3--4;-2--4;-1-1=n7;2;-2:
x--47=y--42=z-1-2
x+47=y+42=z-1-2
2) Косинус угла между ребрами AB и AD определяем по формуле, как косинус угла между векторами AB и AD:
cosφ=AB∙ADAB∙AD
Найдем координаты вектора AB и AD, вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты начала:
AB=3--4;-2--4;-1-1=7;2;-2
AD=-4--4;2--4;1-1=0;6;0
cosφ=7∙0+2∙6+-2∙072+22+-22∙02+62+02=1257∙6=257=25757
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, можно найти по следующей формуле:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
где x1;y1;z1, x2;y2;z2, x3;y3;z3 – координаты точек, принадлежащих данной плоскости.
Общее уравнение плоскости ABC в соответствии с формулой:
x+4y+4z-13+4-2+4-1-1-2+4-1+4-1-1=0
x+4y+4z-172-223-2=0
-4∙x+4-4∙y+4+21∙z-1-4∙z-1-14∙y+4-6∙x+4=0
-4∙x+4-4∙y+4+21∙z-1-4∙z-1+14∙y+4+6∙x+4=0
2∙x+4+10∙y+4+17∙z-1=0
2x+8+10y+40+17z-17=0
2x+10y+17z+31=0
4) Синус угла между ребром AD и гранью ABC.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами l;m;n и плоскостью с нормальным вектором NA;B;C можно найти по формуле:
sinγ=A∙l+B∙m+C∙nA2+B2+C2∙l2+m2+n2
Уравнение плоскости ABC:
2x+10y+17z+31=0
Уравнение прямой AD:
x+40=y+46=z-10
Следовательно,
sinγ=2∙0+10∙6+17∙022+102+172∙02+62+02=60393∙6=10393=10393393
5) Площадь грани ABC.
Длина векторного произведения n=AB×AC равна площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC, поэтому площадь треугольника ABC по формуле равна:
AB×AC=ijk72-223-2=2i+10j+17k
S∆A1A2A3=12n=12∙22+102+172=3932 ед.2
6) Объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC, AD равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах