Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется: Записать векторы AB,AC,AD в системе орт i, j, k

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется: Записать векторы AB,AC,AD в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов Найти угол между векторами AB, AC Найти проекцию вектора AD на вектор AB Найти площадь грани ABC Найти объем пирамиды ABCD Составить уравнение ребра AC Составить уравнение грани ABC. A0;1;0, B-2;4;0,C-2;1;6,D0;4;8

1)
AB=-2-0;4-1;0-0=-2;3;0- вектор в системе орт i, j, k
AB=-22+32+02=13-модуль вектора AB.
AC=-2-0;1-1;6-0=-2;0;6- вектор в системе орт i, j, k
AC=-22+02+62=210-модуль вектора AC.
AD=0-0;4-1;8-0=0;3;8- вектор в системе орт i, j, k
AD=02+32+82=73-модуль вектора AD.
2)
угол между векторами AB, AC находим согласно формуле;
cosα=AB∙ACAB∙AC=-2∙-2+3∙0+0∙613∙210=42130=2130=13065,
Тогда
α=arccos13065.
3)
Проекцию вектора AD на вектор AB вычислим по формуле:
прABAD=AD∙ABAB=0∙-2+3∙3+8∙013=913=91313.
4)
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть AB и AC.
SABC=12AB×AC.
Найдём AB×AC=ijk-230-206=i3006-j-20-26+
+k-23-20=18i+12j+6k.
SABC=12AB×AC=12182+122+62=12504=314.
5)
Объём пирамиды равен одной шестой от объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD . Находим смешанное произведение этих векторов:
AB∙ AC∙ AD=-230-206038=раскалдываем по первой строке=
=-20638-3-2608=-20-18-3-16-0=36+48=
=84.
Значит,
VABCD=16∙84=846=14.
6)
Каноническим уравнением прямой, проходящей через точки A и C в пространстве называется уравнение
x-xAxC-xA=y-yAyC-yA=z-zAzC-zA.
AC: x-0-2-0=y-11-1=z-06-0⟺x-2=y-10=z6
с направляющим вектором s=-2;0;6.
7)
Уравнение грани ABC найдем как уравнение плоскости ABC;
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки, находим по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0 .
x-0y-1z-0-2-04-10-0-2-01-16-0=0, т.е

. Находим смешанное произведение этих векторов:
AB∙ AC∙ AD=-230-206038=раскалдываем по первой строке=
=-20638-3-2608=-20-18-3-16-0=36+48=
=84.
Значит,
VABCD=16∙84=846=14.
6)
Каноническим уравнением прямой, проходящей через точки A и C в пространстве называется уравнение
x-xAxC-xA=y-yAyC-yA=z-zAzC-zA.
AC: x-0-2-0=y-11-1=z-06-0⟺x-2=y-10=z6
с направляющим вектором s=-2;0;6.
7)
Уравнение грани ABC найдем как уравнение плоскости ABC;
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки, находим по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0 .
x-0y-1z-0-2-04-10-0-2-01-16-0=0, т.е