Даны координаты вершин пирамиды (см. табл. 1): . Найти: 1. Площадь одной из граней пирамиды. 2.

Даны координаты вершин пирамиды (см. табл. 1): . Найти: 1. Площадь одной из граней пирамиды. 2. Объем пирамиды . 3. Высоту пирамиды , опущенную из вершины на основание . 4. Длины всех ребер пирамиды. 5. Длину высоты треугольника , лежащего в основании пирамиды, опущенную из вершины на сторону . А В С D (5; 5; 4) (1; – 1; 4) (3; 5; 1) (5; 8; – 1)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
BC(2;6;-3) и BD(4;9;-5):Векторное произведение:
i j k
2 6 -3
4 9 -5
=
=i(6·(-5)-9·(-3)) - j(2·(-5)-4·(-3)) + k(2·9-4·6) = -3i - 2j - 6k
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
-4 -6 0
-2 0 -3
0 3 -5
где определитель матрицы равен:∆ = (-4)*(0*(-5)-3*(-3))-(-2)*((-6)*(-5)-3*0)+0*((-6)*(-3)-0*0) = 24
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости ABC
x-5 y-5 z-4
-4 -6 0
-2 0 -3
= 0
(x-5)((-6)·(-3)-0·0) - (y-5)((-4)·(-3)-(-2)·0) + (z-4)((-4)·0-(-2)·(-6)) = 18x - 12y - 12z + 18 = 0Упростим выражение: 3x - 2y - 2z + 3 = 0
Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(5,8,-1).Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:Уравнение плоскости ABC: 3x - 2y - 2z + 3 = 0
AB(-4;-6;0)AC(-2;0;-3)AD(0;3;-5)BC(2;6;-3)BD(4;9;-5)CD(2;3;-2)Модули векторов (длина ребер пирамиды)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:Уравнение прямой BC(2,6,-3)
А(5;5;4)
Точка Мпринадлежит прямой ВС
Тогда АМ(
Тогда высота из точки А на прямую ВС равна:
Матрицы