Даны координаты вершин треугольника ABC:A2;2,B7;6,C(10;1). Требуется: 1) вычислить длину стороны BC; 2) составить уравнение стороны BC; 3)

Даны координаты вершин треугольника ABC:A2;2,B7;6,C(10;1). Требуется: 1) вычислить длину стороны BC; 2) составить уравнение стороны BC; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине B; 4) составить уравнение высоты AK, проведенной из вершины A; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Длину стороны BC вычислим по формуле:
BC=(xC-xB)2+(yC-yB)2=(10-7)2+(1-6)2=34
Уравнение стороны BC составим по формуле:
x-xBxC-xB=y-yByC-yB
x-710-7=y-61-6
x-73=y-6-5 -5x+35=3y-18 3y=-5x+53
y=-53x+533 kBC=-53
Внутренний угол треугольника при вершине B найдем как угол между прямыми BA и BC. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой BA по формуле:
kBA=yB-yAxB-xA=6-27-2=45
Из расположения точек A,B,C на координатной плоскости видно, что угол B в треугольнике ABC – острый, поэтому вычислим его по формуле:
tg B=kBA-kBC1+kBA∙kBC=45+531+45∙-53=3715515=375
B=arctg 375≈82,3°
Высота AK, проведенная из вершины A, перпендикулярна стороне BC, поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением:
kAK=-1kBC=35
Составим уравнение высоты AK по формуле:
y-yA=kAKx-xA
y-2=35∙(x-2)
y=35x+45
Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AM – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AM в отношении 2:1, начиная от точки A
APPM=2
Найдем координаты точки M - середины BC по формуле деления отрезка пополам:
xM=xB+xC2=7+102=172
yM=yB+yC2=6+12=72
Теперь, когда координаты концов отрезка AM известны, найдем координаты точки P, которая делит AM в отношении =2, начиная от точки A, по формулам деления отрезка в заданном отношении:
xP=xA+2xM3=2+173=193
yP=yA+2yM3=2+73=3
Центр тяжести треугольника ABC:
P193;3
Построим чертеж к задаче в системе координат XOY