Даны координаты вершин треугольника АВС. А (2; 2), В (10; -4), С (12; 5).

Даны координаты вершин треугольника АВС. А (2; 2), В (10; -4), С (12; 5). Требуется найти: 1) уравнение медиан, проведенных из вершин А и В, и точку пересечения медиан; 2) уравнение высот СТ, проведенной из вершины С, и длину этой высоты; 3) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СТ; 4) уравнение окружности, для которой высота СТ является диаметром. Сделать чертеж.

1) Уравнение медианы треугольника Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. M(11;1/2) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;2) и М(11;1/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой: или или y = -1/6x + 7/3 или 6y + x - 14 = 0 
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. M(7;7/2) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(10;-4) и М(7;7/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой: или или y = -5/2x + 21 или 2y + 5x - 42 = 0 
Найдем точку пересечения медиан. Имеем систему из двух уравнений: 6y + x - 14 = 0 2y + 5x - 42 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 8 y = 1 
2) Уравнение высоты через вершину C Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: Уравнение прямой AB Каноническое уравнение прямой: или или y = -3/4x + 7/2 или 4y + 3x - 14 = 0 
Найдем уравнение высоты через вершину C y = 4/3x -11 или 3y -4x +33 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: Имеем систему из двух уравнений: 4y + 3x - 14 = 0 3y -4x +33 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 174/25 y = -43/25 T(174/25;-43/25) 
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: Найдем расстояние между точкой C(12;5) и прямой AB (4y + 3x - 14 = 0) 
3) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СТ;
Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CT, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ