Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти: Длину ребра АВ Угол между ребрами АВ и АС Площадь грани АВС Объем

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти: Длину ребра АВ Угол между ребрами АВ и АС Площадь грани АВС Объем пирамиды Канонические и параметрические уравнения прямой АВ, найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Уравнение плоскости, проходящей через середину ребра АВ перпендикулярно ребру СD, найти точки пересечения плоскости с координатными осями. A3;5;4, B8;7;4, C5;10;4,D4;7;8.

A) Длину ребра AB;
AB=8-3;7-5;4-4=5;2;0-направляющий вектор AB
AB=52+22+02=29.
б) угол между ребрами AB, AC;
AC=5-3;10-5;4-4=2;5;0-направляющий вектор AC
cosα=AB∙ACAB∙AC=5∙2+2∙5+0∙02922+52+02=2029∙29=2029,
Тогда
α=arccos2029.
в) площадь грани ABC;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих эту грань, то есть AB и AC.
SABC=12AB×AC.
Найдём AB×AC=ijk520250=i2050-j5020+
+k5225=0i+0j+21k.
SABC=12AB×AC=1202+02+212=212=10,5.
г) объём пирамиды;
Объём пирамиды равен одной шестой от объёма параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. Находим смешанное произведение этих векторов:
AD=4-3;7-5;8-4=1;2;4.
AB∙ AC∙ AD=520250124=раскалдываем по третьему столбцу=
=45225=425-4=84.
Значит,
VABCD=16∙84=846=14.
д) Каноническим уравнением прямой, проходящей через точки A и B в пространстве, называется уравнение
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA.
AB: x-38-3=y-57-5=z-44-4⟺x-35=y-52=z-40 .
с направляющим вектором s=5;2;0.
Параметрические уравнения прямой AB:
x=lt+x1y=mt+y1z=nt+z1 , где s=l,m,n-направляющий вектор прямой и
x1;y1;z1-точка принадлежащая прямой AB.
s=5;2;0,A3;5;4

. Получаем:
x=5t+3y=2t+5z=4 .
Найдем точки пересечения с осями координат.
Так как в направляющем векторе AB последняя координата (по z) равна нулю, то прямая AB параллельна плоскости xOy