Даны координаты вершин пирамиды АВСD: A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5). Найти: 1) уравнение грани АВС; 2) уравнение высоты DM,

Даны координаты вершин пирамиды АВСD: A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5). Найти: 1) уравнение грани АВС; 2) уравнение высоты DM, опущенной из точки D на грань АВС; 3) длину высоты DM; 4) уравнение ребра DC; 5) угол наклона ребра DC к плоскости АВС.

1) Найдем координаты векторов :
Находим векторное произведение векторов :
Находим уравнение грани АВС, как уравнение плоскости, имеющей нормальный вектор и проходящей через точку A(1;0;-1):
2) Нормальный вектор плоскости АВС является направляющим вектором высоты DM, опущенной с вершины D(3;4;5) на грань АВС, поэтому уравнение искомой прямой имеет вид
.
3) Расстояние от точки М(x1,y1,z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле
В нашем случае длина высоты DM находится, как расстояние от точки D(3;4;5) до плоскости АВС: , и будет равно
.
4) Находим уравнение ребра DС как уравнение прямой, проходящей через точку D(3;4;5) и имеющей направляющим вектором вектор :
.
5) Угол между ребром DС и гранью ABC находим как угол между вектором и нормальным вектором плоскости АВС