Даны координаты вершин пирамиды ABCD.Требуется: Записать векторы АВ, АС, AD в системе орт i, j,

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.Требуется: Записать векторы АВ, АС, AD в системе орт i, j, k, и найти модули этих векторов; Найти угол между векторами АВ, АС; Найти проекцию вектора AD на вектор АВ; Найти площадь грани АВС; Найти объем пирамиды АВСD; Составить уравнение ребра АС; Составить уравнение грани АВС. А0;1;2, В-2;4;2, С-2;1;8, D0;4;10;

Даны координаты пирамиды: A(0,1,2), B(-2,4,2), C(2,1,8), D(0,4,10)
1) Координаты векторов.Координаты векторов находим по формуле:X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - ziздесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;Например, для вектора ABX = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1X = -2-0; Y = 4-1; Z = 2-2AB(-2;3;0)AC(2;0;6)AD(0;3;8)BC(4;-3;6)BD(2;0;8)CD(-2;3;2)
i
j k
AB -2 3 0
AC 2 0 6
AD 0 3 8
2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:3) Угол между ребрами.Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2Найдем угол между ребрами AB(-2;3;0) и AC(2;0;6):
γ = arccos(0.175) = 100.10607) Проекция вектора.Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:Найдем проекцию вектора AD на вектор AB4) Площадь грани.Площадь грани можно найти по формуле:гдеНайдем площадь грани ABCНайдем угол между ребрами AB(-2;3;0) и AC(2;0;6):Площадь грани ABC
5) Объем пирамиды.Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
где определитель матрицы равен:∆ = (-2)*(0*8-3*6)-2*(3*8-3*0)+0*(3*6-0*0) = -127) Уравнение прямойПрямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:Уравнение прямой AC(2,0,6)8) Уравнение плоскости.Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости ABC
x-0 y-1 z-2
-2 3 0
2 0 6
= 0
(x-0)(3·6-0·0) - (y-1)((-2)·6-2·0) + (z-2)((-2)·0-2·3) = 18x + 12y - 6z = 0Упростим выражение: 3x + 2y - z = 0