Даны координаты вершин тетраэдра A10;-2;5, A23;4;-3,A3-2;2;2, A45;2;-2 Найти средствами векторной алгебры: Длину ребра A2A4; Площадь грани A1A2A3; Угол

Даны координаты вершин тетраэдра A10;-2;5, A23;4;-3,A3-2;2;2, A45;2;-2 Найти средствами векторной алгебры: Длину ребра A2A4; Площадь грани A1A2A3; Угол A1A2A3 в радианах; Объем тетраэдра A1A2A3A4; Длину высоты, проведенной из вершины A4

Left525500Длина ребра A2A4
Найдем по формуле
A2A4=x4-x22+y4-y22+z4-z22=
=5-32+2-42+-2-(-3)2=
=4+4+1=9=3ед.
Площадь грани A1A2A3
S A1A2A3=12А1А2хА1А3
А1А2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=3-0;4--2;-3-5=3;6;-8
А1А3=x3-x1;y3-y1;z3-z1=-2-0;2-(-2);2-5=-2;4;-3
А1А2хА1А3=ijk36-8-24-3=6-84-3i-3-8-2-3j+36-24k=
=6∙(-3)-4∙(-8)i-3∙(-3)--2∙(-8)j+3∙4--2∙6k=
=14i+25j+24k
А1А2хА1А3=142+252+242=1397
S A1A2A3=12∙1397≈18,69ед.2
Угол A1A2A3 в радианах
Угол между ребрами A1A2 и A1A3 найдем по формуле
cos∠α=A1A2∙A1A3A1A2∙A1A3
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12=
=3-02+4-(-2)2+-3-52=9+36+64=109ед.
A1A3=x3-x12+y3-y12+z3-z12=
=-2-02+2-(-2)2+2-52=4+16+9=29
cos∠α=3∙-2+6∙4+(-8)∙(-3)109∙29=42109∙29≈ 0,747
∠α=arccos 0,747≈ 0,727 рад.
Объем тетраэдра A1A2A3A4
A1A4=x4-x1;y4-y1;z4-z1=5-0;2--2;-2-5=5;4;-7
Найдем смешанное произведение
A1A2∙A1A3∙A1A4=36-8-24-354-7=
=34-34-7-6-2-35-7-8-2454=
=34∙-7-4∙-3-6-2∙-7-5∙-3-8-2∙4-5∙4=
=-48-174+224=2
Тогда объем тетраэдра
V=16∙A1A2∙A1A3∙A1A4=16∙2=13ед.3
Длина высоты, проведенная из вершины A4
Уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2,A3
А1А2А3:x-xА1y-yА1z-zА1xА2-xА1yА2-yА1zА2-zА1xА3-xА1yА3-yА1zА3-zА1=0
А1А2А3:x-0y-(-2)z-53-04-(-2)-3-5-2-02-(-2)2-5=0
А1А2А3:xy+2z-536-8-24-3=
=x6-84-3-y+23-8-2-3+z-536-24=
=x6∙-3-4∙-8-y+23∙-3--2∙-8+z-53∙4--2∙6=
=14x+25y+2+24z-5=14x+25y+24z-70=0
A4H=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2=14∙5+25∙2+24∙-2-70142+252+242
=21397≈0,05ед.
Ответ: 1) 3ед.;2)≈18,69ед.2;3) ≈ 0,727 рад.;4) 13ед.3;5);≈0,05ед.