Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 : А16;-1;3, А29;-2;3, А312; -3; 5, А49; 4;1. Найти: 1)

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 : А16;-1;3, А29;-2;3, А312; -3; 5, А49; 4;1. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4)уравнение грани А1А2А3; 5)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 6) объем пирамиды. Сделать чертеж в декартовой системе координат.

Выполним чертеж
Вычислим координаты векторов A1A2, A1A3, A1A4:
A1A2=9-6; -2-1;3-3=3; -1;0,
A1A3=12-6;-3--1;5-3=6; -2;2,
A1A4=9-6;4--11-3=3;5; -2.
1)Найдем длину отрезка A1A2, используя формулу модуля вектора:
A1A2=A1A2=32+-12+02=9+1+0=10.
2)Косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4 определим по формуле:
cosφ=А1А2∙ А1А4А1А2∙А1А4=3∙3+-1∙5+0∙-210∙32+52+-22=9-5+010∙9+25+4=410∙38=
=410∙38=4295=295.
3)Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A1A2 и A1A3. Следовательно SА1А2А3=12A1A2 × A1A3.
Вычислим векторное произведение векторов A1A2 и A1A3.
A1A2 × A1A3=ijk3-106-22=-10-22∙i-3062∙j+3-16-2∙k=
=-1∙2--2∙0∙i-3∙2-6∙0∙k+3∙-2-6∙-1∙k=-2i-6j+0k,
A1A2 × A1A3=-22+-62+02=4+36=40=210.
Следовательно, SА1А2А3=12∙210=10 кв.ед..
4)Уравнение грани А1А2А3 - уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3

. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Подставим координаты точек А1, А2, А3 в это уравнение, получим:
x-6y--1z-39-6-2--13-312-6-3--15-3=0,
x-6y+1z-33-106-22=0.
Вычислим определитель разложением по первой строке:
x-6∙-10-22-y+1∙3062+z-3∙3-16-2=0,
x-6∙-2-0-y+1∙6-0+z-3∙-6+6=0,
x-6∙-2-y+1∙6+z-3∙0=0,
-2x+12-6y-6=0,
-2x-6y+6=0,
x+3y-3=0 - искомое уравнение плоскости.
Вектор n=1;3;0- нормальный вектор плоскости.
5)Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:
x-x0m=y-y0n=z-z0p,
где x0; y0; z0- координаты фиксированной точки прямой (в нашем случае точка А4), S=m;n;p- направляющий вектор прямой.
За направляющий вектор искомой прямой возьмем вектор S=n=1;3;0.
Подставим координаты точки А4 и координаты вектора n в каноническое уравнение, получим:
x-91=y-43=z-10.
6) Объем параллелепипеда, построенного на векторах A1A2 , A1A3 , A1A4, равен модулю смешанного произведения этих векторов, то есть,
Vпарал.=A1A2 , A1A3 , A1A4=3-106-2235-2=
=3∙-225-2--1∙623-2+0∙6-235=
=3∙4-10+-12-6+0=3∙-6-18=-36=36.
Объем пирамиды V=16Vпарал.=366=6 куб.ед..
Ответ: 1) A1A2=10; 4) x+3y-3=0 ;
2) cosφ=295; 5) x-91=y-43=z-10;
3) SА1А2А3=10; 6) V=6.