Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) площадь грани ABC; б)объем пирамиды ABCD; в) уравнение

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) площадь грани ABC; б)объем пирамиды ABCD; в) уравнение ребер AD и BD, указав координаты направляющих векторов; г)уравнение граней ABC и ABD, указав координаты их нормалей; д) длину высоты DK; e) угол между плоскостью основания ABC и боковым ребром AD; ж) угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью AВD; з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC; и) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно ребру AD; к) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости основания AВС; л) угол между боковыми ребрами AD и ВD A0;0;-1,B1;2;3,C5;0;-3,D4;4;1,

Координаты векторов и их длины
Вектора:
AB=1-0;3-0;4--1=1;3;5
AC=5-0;5-0;-3--1=5;0;-2
BC=5-1;0-3;-3-4=4;-3;-7
AD=4-0;4-0;1--1=4;4;2
BD=4-1;4-3;1-4=3;1;-3
Длины:
AB=12+32+52=1+9+25=35
AC=52+02+-22=25+0+4=29
BC=42+-32+-72=16+9+49=74
AD=42+42+22=16+16+4=36=6
BD=32+12+-32=9+1+9=19
А) площадь грани АВС
S=12AB×AC
Векторное произведение:
AB×AC=ijk13550-2=350-2i-155-2j+1350k=
=-66-0i+-2-25j+0-15k=-6i-27j-15k
Площадь:
S=12-62+-272+-152=1236+729+225=32110≈
≈15,732(кв. ед.)
б) Объем пирамиды
Объем равен 1/6 модуля смешанного произведения
V=16AB×AC∙AD
AB×AC∙AD=13550-2442=-9-7594-2002=-13+3∙2∙-9-794=
=2-9∙4-9∙-7=2-36+63=54
V=16∙54=27(куб.ед.)
в) Уравнение ребра AD:
Через направляющий вектор AD=4;4;2 и точкуA(0;0;-1)
x-04=y-04=z--12=>x4=y4=z+12.
Уравнение ребра BD:
Через направляющий вектор BD=3;1;-3 и точкуB(1;3;4)
x-13=y-31=z-4-3.
г)Уравнение плоскости АВС и ABD
Для того чтобы найти уравнение плоскости АВС, воспользуемся формулой для плоскости, проходящей через три точки:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0.
Поставим сюда координаты точек A,B и C:
x-0y-0z--11-03-04--15-00-0-3--1=0=>xyz+113550-2=0

.
Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:
x350-2-y155-2+z+11350=0
-6∙x--27∙y+-15∙z+1=0
Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:
2x-9y+5z+5=0.
Аналогично находим уравнение плоскости ABD
x-0y-0z--11-03-04--14-04-01--1=0=>xyz+1135442=0.
Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:
x3542-y154-+z+11344=0
-14∙x--18∙y+-8∙z+1=0
Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:
7x-9y+4z+4=0.
Нормальные векторы уравнений граней:
АВС: nАВС=2;-9;5;
АВD: nАВD=7;-9;4.
д) длина высоты DK
DK=3VSABC=3∙932110=955110≈1,716.
e) угол между плоскостью основания ABC и боковым ребром AD;
Синус угла между ребром AD и гранью  ABC
sinγ= AD∙nABCADnABC=>sinγ=4∙2+4∙-9+2∙56∙22+-92+52=186110=3110110γ=arcsin3110110≈16,621oж) угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью AВD;
По формуле
cosφ=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12∙A22+B22+C22
получим угол между плоскостями, если учесть, что A1=2;B1=-9;
 C1= 5,  A2=7;B2=-9; C2 =4
cosφ=2∙7+-9∙-9+5∙422+-92+52∙72+-92+42=
=14+81+204+81+2549+81+16=11540152∙4015=2340151606
φ=arccos2340151606=arccos0,9074≈0,434≈24,8440.
з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC
Если плоскость проходит через точку M x0 ; y0 ; z0 перпендикулярно нормальному вектору n A; B;C, то ее уравнение имеет вид A x x0 By y0 Cz z0 =0 .
Нормальным вектором плоскости ABC является вектор nАВС=1;-2;-2