Даны координаты вершин пирамиды ABCD. A3;3;-3; B7;7;-5; C5;14;-18;D3;5;-2 Требуется: 1) записать векторы b, c, d, порождённые

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. A3;3;-3; B7;7;-5; C5;14;-18;D3;5;-2 Требуется: 1) записать векторы b, c, d, порождённые соответственно отрезками AB, AC, AD, в декартовом базисе i, j, k; 2) найти косинус угла между векторами d и b; 3) найти проекцию вектора d на вектор b; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объём пирамиды ABCD.

1) Подставляя данные задачи, получим:
b=bAB=7-3i+7-3j+-5+3k=4i+4j-2k
c=cAC=5-3i+14-3j+-18+3k=2i+11j-15k
d=dAD=3-3i+5-3j+-2+3k=0i+2j+1k
2) косинус угла между векторами d и b находится по формуле:
cosd,b=d∙bd∙b
Найдем скалярное произведение
d∙b=4∙0+4∙2-2∙1=0+8-2=6
Найдем модули векторов
d=02+22+12=0+4+1=5
b=42+42+-22=16+16+4=36=6
Найдем угол между ними
cosd,b=d∙bd∙b=65∙6=55
3) найти проекцию вектора d на вектор b;
ПРdb=b∙dd
Найдем скалярное произведение этих векторов
b∙d=0∙4+2∙4+1∙-2=6
Модуль вектора b=6
Найдем проекцию вектора d на вектор b
ПРdb=b∙dd=66=1
4) найти площадь грани АВС;
Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу
SABC=12∙AB×AC=12∙b×c
b=4i+4j-2k; c=2i+11j-15k
Сначала найдём векторное произведение:
b×c=ijk44-2211-15=4-211-15i+4-22-15j+44211k=
=-60+22i+-60+4j+44-8k=-38j-56j+36k
И вычислим его длину:
b×c=-382+-562+362=1444+3136+1296=5876=21469
Площадь грани:
SABC=12∙21469=1469
5) найти объём пирамиды ABCD